平面立体曲面体资料

2.6 曲线、曲面和立体

2.6.1 平面立体及其表面上的线和点

2.6.2 平面曲线和空间曲线

2.6.3 曲面、曲面立体及其表面上的线和点2.6.4 圆柱螺旋线和平螺旋面

2.6.1 平面立体及其表面上的线和点

1.棱柱及其表面上的线和点

（1）棱柱的投影

投影规律：水平投影与正面投影长对正；正面投影与侧

面投影高平齐；水平投影与侧面投影宽相等。

(a)立体图(b)投影图(c)用45°辅助线作投影图

图2.120 正六棱柱的投影

（2）棱柱表面上的线和点的投影

图2.121 补全正五棱柱表面上的点和线的三面投影

(a)已知条件 (b)作图过程和作图结果

分析：从已知条件可知，

点A 在顶面上，点B 在底

面上;点C 在左后棱面上，

点D 在右后棱面上；EF 、

FG 段分别是左前棱面、

右前棱面上的线段，其

点E 、F 、G 位于棱线上。

GH 、HI 段分别是右后

棱面、后棱面上的线段，

其点H 、I 位于棱线上。

［例题2.61］如图2.122a 所示，已知斜三棱柱的水平投影和正面投影，并知这个斜三棱柱表面上的折线PQR 的正面投影

p′q′r′，求作这个斜三棱柱的侧面投影，补全折线PQR 的三面投影。

图2.122 作斜三棱柱的侧面投影，并补全表面上的折线PQR 的三面投影

［解］

①作斜三棱柱的侧面投影。

②作出斜三棱柱表面上的

折线PQR 的水平投影pqr

和侧面投影p″q″r″。

(a)已知条件 (b)作图过程和作图结果

2.棱锥及其表面上的线和点

（1）棱锥的投影

(a)立体图(b)投影图

图2.123 正五棱锥的投影

（2）棱锥表面上的线和点的投影

(a)已知条件(b)作法一(c)作法二(d)作法三

图2.124 在正三棱锥表面上作点D的正面投影

［例题2.62］如图2.125a 所示，已知正五棱锥表面上的点F 、K 、L 和直线GH 的一个投影，补全这些点和直线的三面投影。 图2.125 补全正五棱锥表面上的点和直线的三面投影

［解］

①作45°辅助线

②补全点K 、L 的三面

投影

(a)已知条件 (b)作图过程和作图结果

④补全直线GH 的三面

投影

③补全点F 的三面投影

(a)正三棱柱(b)左端切割成正垂面的L形柱

图2.126 一些平面立体的投影图示例

(c)斜三棱柱(d)正四棱台

图2.126 一些平面立体的投影图示例

(e)楔形块(f)叠加组合体

图2.126 一些平面立体的投影图示例

(1) 当曲线所在的平面平行于投影面时，投影反映真形。 (2) 当曲线所在的平面垂直于投影面时，投影积聚成为一直线线段。 2.6.2 平面曲线和空间曲线

图2.127 平面曲线及其投影特性

1.平面曲线及其投影特性

曲线可分成两类：所有的点都位于同一平面上的曲线称为平面曲线；连续四点不在同一平面上的曲线称为空间曲线。

(a)平行于投影面 (b) 垂直于投影面 (c) 倾斜于投影面

(3) 当曲线所在的平面倾斜于投影面时，投影成为形状缩小的类似形。

［例题2.63］如图2.128a 所示，

已知三角形PQR 平面内的平面

曲线AE 的水平投影，求作这

条平面曲线的正面投影。

图2.128 作平面内的平面曲线AE 的正面投影

(a)已知条件 (b)作图过程和作图结果

［解］

①在曲线AE 的水平投影ae 上取点b 、c 、d ，过a 、b 、c 、d 、e 作正平线，分别与qr 交得1、2、3、4、5。将a 1延伸，与pq 交得f 。 ②过1、2、3、4、5引正面投影的连线，分别与q′r′交得1′、2′、3′、4′、5′；由f 引正面投影的连线，与p′q′交得f′，连1′和f′；过2′、3′、4′、5′分别作1′f′的平行

线。从a 、b 、c 、d 、e 分别引正面投影的连线，顺次与1′f′及其平行线交得a′、b′、c′、d′、e′。

③用曲线板将a′、b′、c′、d′、e′顺序连成光滑曲线，即为所求的曲线AE 的正面投影。

2.圆及其投影特性

图2.129 正平圆的投影 (1)在与圆平面平行的投影面上的投影反映真形。 图2.130 铅垂圆的两面投影

(2)在与圆平面垂直的投影面上的投影成直线，长度等于圆的直径，中点是圆心的投影。

(3)在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆。

径为24mm 的铅垂圆的圆心C 的两面投

影，圆平面与V 面的倾角为30°，水平

直径的方向是从左后往右前，作出这

个铅垂圆的水平投影和正面投影。

［解］

图2.131 按给定条件作出铅垂圆的两面投影

(a)已知条件

(b )作图过程和作图结果 ①以c 为中点、按从左后往右前的方向作与OX 轴成30°角的直线，由c 向两侧量取12，得a 和b ，即为这个铅垂圆的有积聚性的水平投影。 ②作O 1X 1∥ab ，换面，由c 和c′作出c 1′。 ③以c 1′为圆心作直径24的圆，即为该圆的真形。过c 1′分别作O 1X 1轴的平行线a 1′b 1′和垂直线d 1′e 1′ ，就是这个圆的水平直径AB 和铅垂直径DE 的V 1面投影。 ④过c′作水平线和铅垂线；由a 、b 作垂直于OX 轴的投影连线，与过c′的水平线交得a′、b′；在过c′的铅垂线上，由c′向两侧各量取12，得d′、e′。 ⑤在反映圆的真形的V 1面投影上，任取一系列的点，将这些点返回，即得圆周上一系列点的两面投影，顺次光滑连接V 面投影中的点，即得所求的铅垂圆的正面投影椭圆。