概率论与数理统计课件 完整版

2020/4/3
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例
“太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “可导必连续”, 确定性现象的特征: 条件完全决定结果
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2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
解：用 i 表示掷骰子出现的点数为 i,i1,6;
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 基本事件 A i {i}i,i , 1 ,2 , ,6 ;
A{2,4,6}; B{1,3,5}.
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小结
1 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
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四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
其结果可能为: 正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
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说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
AB{e|eA或eB}.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度
不合格”与“直径不合格”的并.
图示事件 A 与 B 的并.
B
A
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n
推广 称Ak为n个事A1,件 A2,,An的和,即 事件 k1 A1,A2,,An至少发;生一个 称Ak为 可 列A个 1,A2,事 的 件 和,即 事 件 k1 A1,A2,至 少 发.生 一 个 3. 事件的交 (积) "二 事 A,B 件 同 时" 发 也生 是 一,个 称事 为件 事A 件 与事B的 件 积事记 件A 作 , B，显然 A B{e|eA且eB}.
与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了
概率论的第一个基本概念─数学期望。
概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的 数量规律. 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学 领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 另外在经济、金融、保险；管理决策；生物医药 ；农业（试验设计等）等领域都有广泛应用.
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实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.
结果: “弹落点会各不相同”.
实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.
结果有可能为:
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”
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实例4 “从一批含有正 品和次品的产品中任意抽 取一个产品”.
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A2
A3
An1
A1
An
例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来. (1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
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（１）需要大量的重复试验．
（２）得到的是概率的近似值．
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§1.2 样本空间
定义1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件。所有样本点构成的
集合称为E 的样本空间或必然事件，用 或S表示
我们规定不含任何元素的空集为不可能件，
用 表示。P(Ω)=1,P()=0
B 的差. 记作 A- B(或A B )
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
与“直径合格”的差.
图示 A 与 B 的差 BA
AAB
B
BA
AB
AB
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6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
称 Ak 为可列个A1事 ,A2,件 的积事 , 件
k1
即A1,A2,同时发 . 生
和事件与积事件的运算性质
A A A , A , A A ,
A A A , AA, A .
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4. 事件的互不相容 (互斥)
若事件 A 、B 满足 A B A . B
则称事件 A与B互不相容. 实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面”
B A
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二.事件间的运算规律 设 A,B,C为事 ,则 件 有 ( 1 ) 交 A B 换 B A ,A B 律 .B A ( 2 ) 结 ( A B ) 合 C A ( B C ) 律 , (A)C B A (B)C .
(3)分配律
A(BC)(A B)(AC)AB A,C
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三、随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
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说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”. 分析
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次 ，A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
３、统计概率：将事件A的频率的稳定值p作为事件A出现 的可能性的度量，即P(A)=p为事件A的统计概率．
统计概率的缺点：
概率论与数理统计
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2006-02-10
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§1.1 随机事件及其概率的统计定义
一、概率论的诞生及应用 1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约
定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒
胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌
博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
B A
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6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
A(BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ) (
(对 4 律 : ) A B 偶 A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
n
n
Ai Ai
i1
i1
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三 完备事件组
定义设为试验E的样本空,间A1, A2, , An 为E的一组事,件 若 10 Ai Aj ,i, j 1,2, ,n; 2 0 A1 A2 An , 则称A1, A2, , An 为样本空间的一个划,分也称为 完备事件.组
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例１、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还是反 面，则样本空间为：
Ω={正面，反面｝或｛ω1,ω2}
例２、设试验为从装有三个白球（记为１，２， ３号）与两个黑球（记为４，５号）的袋中任取 两个球． （１）观察取出的两个球的颜色，则样本空间为：
Ω={ω00, ω11, ω01} ω00 表示“取出两个白球”， ω11 表示“取出两个黑球”， ω01 表示“取出一个白球与一个黑球”
(1) 可以在相同的条件下重复地进行;
随 机 试 验
(2) (3)
每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果; 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会
出现.
3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
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随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件.
随机试验
样本空间 子集 随机事件
必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件
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§1.3 事件的关系及运算
一.随机事件间的关系
设试 E 的 验 样本 ,而 A 空 ,B ,A 间 k(k为 1 ,2, )是 的子 . 集
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
则称事件 B 包含事件 A,记作 BA 或 A B .
是互不相容的两个事件.
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实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点”互斥 “骰子出现2点”
图示 A与B互斥
A
B
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式 A+B.
任意事件A与不可能事件为互斥.
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5. 事件的差
事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与
证由 明A 于 BA B ,则 A B (A B ) AA B (A B ) A
A (B B )AAA
逆分配律
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四、小结
概率论与集合论之间的对应关系
记号
概率论
样本空间,必然事件
不可能事件
基本事件
随机事件
A的对立事件
A出现必然导致B出现
事件A与事件B相等
集合论
空间(全集) 空集 元素 子集 A的补集 A是B的子集 A集合与B集合相等
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（２）观察取出的两个球的号码，则样本 空间为： Ω={ω12, ω13, ω14, ω15, ω23, ω24,ω25, ω34, ω35, ω45 }
ωij 表示“取出第i号与第j号球”．
注：试验的样本空间是根据试验的内容确 定的！
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随机事件 随机试验 E 的样本空间 的子集
(6) 不多于一个事件出现; 解 (1) ABC orABCoA r (B C );
(2) AC BorAB C;
(3) ABC;
(4 )A B C ; (5) ABC;
( 6 )A B C A B C A B C A B C ;
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例2 运用事件运算关系 等证 式明 AB(AB)A
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
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(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
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(或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件, 简称事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出 现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
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例3 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 事件A—出现偶数, 事件B—出现奇数
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格 所”以“产品不合格”包含“长度不合格”.
图示 B 包含 A.
AB
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若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事
件A与事件B相等,记作 A=B. 2. 事件的和(并) “二事A,件 B至少发生一个个 ”事 也,件 是一
称为事A与 件事B件 的和事.记 件作 AB，显然
积事件也可 AB记 或A 作B .
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实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件. 图示事件A与B 的积事件.
A AB B
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n
推广 称 Ak为n个事A1,件 A2,,An的积,事件
k1
即 A1,A2,,An同 时;发 生