复变函数

复数的故事
复数的概况
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。

在很长时间里，人们对这类数不能理解。

但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。

解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。

当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一①。

16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。

他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。

德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。

在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a+bi。

象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。

高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。

他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。

统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。

高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。

至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

复数的意义
虚数是有很大的的现实意义的，通过引入虚数，那些‘没有意义”的根式也变得有理可寻。

可是在历史上虚数的存在性及它的意义曾经引起一场激烈的论战。

虚数被讥笑为‘数的鬼魂’，一些象笛卡尔这样的大数学也拒绝承认它。

这场争论一直要到一八零零年左右几何解释虚数成
功后才慢慢平静下来。

对实用主义者而言，虚数当然是一个计算的工具，只要它有用就行了，但对于严肃的数学家来说却并非如此。

高斯就曾经说过，关键不在于应用，而在于如果歧视这些虚量，整个分析学就会失去大量的美和灵活性。

为什么认为“歧视虚数”就不美呢？我想这是由于数学中第二个关于美的法则在起作用：对称性法则。

当我们把虚数和实数认为是同样真实，只是分别属于一个统一的复平面的横轴和竖轴时，所有的代数方程的解对于实数和虚数而言就具有了一种对称性。

而任何人为的‘歧视’都将打破这种对称。

”
复数的应用
系统分析
在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。

因此可在复平面上分析系统的极点和零点。

分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。

无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。

如果系统极点位于右半平面，则因果系统不稳定；都位于左半平面，则因果系统稳定；位於虚轴上，则系统为临界稳定的。

如果系统的全部零点都位於右半平面，则这是个最小相位系统。

如果系统的极点和零点关於虚轴对称，则这是全通系统。

信号分析
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。

模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。

利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。

这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示:其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。

电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流
（有时用字母j 作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。

）的关系用简单的线性方程表示并求解。

反常积分
在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。

方法有多种，见围道积分方法。

量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基於复数域上无限维的希尔伯特空间。

相对论如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量(Metric) 方程。

应用数学
实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r，再将系统以形为f(t) = e的基函数的线性组合表示。

流体力学
复函数於流体力学中可描述二维势流 (2D Potential Flow)。

一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集 (Julia set) 是建基於复平面上的点的。

黎曼猜想轨迹
一，分解质数源开[拓]：函数[18rr+1]
1,r*6
2,18rr-r*6+1=0
二，整形第一部分
1，【[r1+r2]*6】*1/2
2,【18*[r1]*[r2]-[r1+r2]*6+1】*1/2=0
三，黎曼猜想化为[素数分布球体模式]
后记
数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有者不可思议的性质和规律。

复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是神奇的留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。

参考文献
（1）《复变函数与积分变换》高等教育出版社 2006
（2）《虚数的故事》上海教育出版社 2008
（3）《工程技术数学（第四版）》高等教育出版社。