巧解追及相遇问题的三种方法

警车发动后追上货车所需时间 t总＝t2＋ t3＝28 s 答案：(1)45 m (2)28 s
2
2
整理得3at2－2v0t＋2x＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式 Δ＝(－2v0)2－4· 3a· 2x<0时，t无实数解，即两车不相 撞，所以要使两车不相撞，解得A车的初速度v0应满 足的条件v0< 6ax 法三：图象法 利用v t图象求解，先作A、B两车的v t图象，如图 所示。
解决追及问题三种方法的特点
(2013· 巢湖联考)一辆值勤的警车停在公路边，当警 员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车有 违章行为时，决定前去追赶，经过2 s后警车发动 起来，并以2 m/s2的加速度做匀加速运动，试问： (1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是 多少？ (2)若警车能达到的最大速度vm＝12 m/s，达到最大速 度后以该速度匀速运动，则警车发动后要多长时 间才能追上货车？ 解析：(1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相 等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t1时 v警 10 间两车的速度相等，则t1＝ ＝ s＝5s
[典题例证]
在水平轨道上两列火车A和B相距x，A车在后面 做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运 动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加 速直线运动，两车运动方向相同。两车可视为质 点，要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足 的条件。
百度文库
[解析] 要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最大 只能与B车相等。设A、B两车从相距x到A车追上B 车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t； B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示， 现用三种方法解答如下：
a
2
此时货车位移x货＝v货t＝(2＋5)×10 m＝70 m 1 1 警车位移x警＝ at12＝ ×2×52 m＝25 m 2 2 所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝45 m (2)当警车刚达到最大速度时，运动时间 v t2＝ m ＝12 s＝6 s 2 a 此时货车位移x′货＝v货t′＝10×(2＋6)m＝80 m 1 1 警车位移x′警＝ a t 2＝ ×2×62 m＝36 m 2 2 2 ′ ′ 因为x 货>x 警，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车 距离Δx′＝x′货－x′警＝44 m 警车达到最大速度后做匀速运动，设再用时t3追上， 则12t3＝44＋10t3 解得t3＝22 s
法一：临界法 （两车速度相等时，使两车恰好相遇不相撞！） 两车相遇时利用位移公式、速度公式求解，对 A车 1 有 xA＝v0t＋×2 (－2a)×t2 vA＝v0＋(－2a)×t
1 2 对B车有xB＝ 2 at
vB＝at 两车位移关系有x＝xA－xB 追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB 联立以上各式解得v0＝ 6ax 故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的 条件v0< 6ax 法二：函数法 利用判别式求解，由解法一可知xA＝x＋xB 1 1 2 2 即v0t＋× (－2a)×t ＝x＋ at
[方法解读] 临界 寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速 法 追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离； 速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物 体速度相等时有最小距离 函数 设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关 法 于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则 说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正 实数解，说明这两个物体能相遇 图像 (1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移 法 图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两 物体相遇。 (2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时 间轴包围的面积
设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝ v0－2at 对B车有vB＝v＝at v0 解得t＝ 3a 经t时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离x， 它可用图中的阴影面积表示，由图象可知 2 1 1 v0 v 0 x＝ v0 · t ＝ v0 · ＝ 2 2 3a 6a 解得v0＝ 6ax 所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条 件v0< 6ax [答案] v0< 6ax