人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念2.对数函数(教师版)

1、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探
索并了解对数函数的单调性与特殊点 .
2、掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题
. 知道指数函数 y=a x 与对数
函数 y=log a x 互为反函数 . （ a>0, a≠ 1）
一、对数函数的定义：
函数 y log a x (a 0且a 1) 叫做对数函数。
解析 :
由
y
＝
2
x
＋
1
，得
2
x
＝
y
－
1
，
∴ x＝log 2( y－ 1) ，∴ y＝log 2( x－ 1) ． 又∵ x<0，∴ 0<2x<1，∴ 1<2x＋ 1<2，
∴所求函数的反函数为 y＝ log 2( x－1)(1< x<2) ．
答案： y＝ log 2( x－1)(1< x<2) ． 1＋x
(2) 欲使 y＝
1
有意义，
log3 (3x 2)
3x－ 2>0
应有 log 3(3 x－2) ≠0，∴
.
3x－2≠１
2 解得 x>3，且 x≠1.
2 答案： (1) { x| x≤1} ． (2) { x| x>3，且 x≠1.} ．
练习 1： 函数 f ( x) ＝
1
＋
4
－
x
2
的定义域为
________________ ．
对数函数
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
练习 1： 求函数 y＝ 1－x的反函数． x－1
答案： y＝ x＋1( x≠－ 1) ． 练习 2： 函数 y＝ x＋ 2， x∈ R 的反函数为 ( )
A． x＝ 2－ y
B． x＝y－ 2
C． y＝ 2－ x， x∈R
D． y＝x－ 2， x∈ R
答案 : D
类型五 互为反函数的图象间的关系
4
指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。
c
fx
g x 求解
类型一 求函数的定义域
例 1：求下列函数的定义域：
(1) y lg(2 x) ；
(2) y＝
1
；
log3(3x 2)
解析： (1) 由题意得 lg(2 － x) ≥0，
即 2－ x≥1，∴ x≤1，
则 y lg(2 x) 的定义域为 { x| x≤1} ．
答案 : D
练习 1： 函数 f ( x) ＝ ln( x2＋ 1) 的图象大致是 (
)
3
答案 : A
练习 2： 已知 a>0 且 a≠1，函数 y＝ ax 与 y＝log a( － x) 的图象可能是下图中的 (
)
答案： B 类型四 求反函数
例 4：求函数 y＝ 2x＋ 1( x<0) 的反函数．
ln( x 1)
答案： ( －1,0) ∪(0,2]
2
练习 2： 函数 f ( x) ＝ ln( x2－ x) 的定义域为 (
)
A． (0,1)
B． [0,1]
C． ( －∞， 0) ∪(1 ，＋∞ )
D． ( －∞， 0] ∪[1 ，＋∞ )
答案 : C
类型二 应用对数函数的性质比较数的大小 例 2： 比较下列各组中两个数的大小：
与
fx fx
gx 0
同解。
当0 a 1时，loga f x
loga g x
与
fx fx
g x 同解。 0
五、对数方程常见的可解类型有：
形如 log a f x loga g x a 0且a 1, f x
解；
形如 F loga x 0 的方程，用换元法解；
0, g x
0 的方程，化成 f x
gx求
形如 log f x g x c 的方程，化成指数式
(1)log 23.4 和 log 28.5 ； (2)log 0.5 3.8 和 log 0.5 2；
解析： (1) ∵y＝ log 2x 在 x∈ (0 ，＋∞ ) 上为增函数，且 3.4<8.5 ，∴ log 23.4<log 28.5.
(2) ∵ y＝ log 0.5 x 在 x∈ (0 ，＋∞ ) 上为减函数，且 3.8>2 ，∴ log 0.5 3.8<log 0.5 2.
二、对数函数的图像和性质：
a
图 像
0 a1
定义域： 0,
值域： R
性
过点 1,0 ，即当 x 1时， y 0
质
x (0,1) 时， y 0； x (1, )时， y0
x (0,1) 时， y 0； x (1, )时， y 0
在 0, 上是增函数
在 0, 上是减函数
三、 比较对数值的大小，常见题型有以下几类：
1、比较同底数对数值的大小： 讨论；
2、比较同真数对数值的大小：
利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类
可利用函数图像进行比较；
1
3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：
可选取中间量如： “ 1”、“0”等进行比较。
四、对数不等式的解法：
当a 1时， loga f x
loga g x
答案： (1)log 23.4<log 28.5. (2) log
0.5 3.8<log 0.52.
练习 1： 设 a＝log 32， b＝log 52， c＝log 23，则 (
)
A． a>c>b
B． b>c>t;a>b
答案： D
练习 2：
设 a＝ log 2π ， b＝ log 1
π
，
c＝
π
－
2
，则
(
)
2
A． a>b>c C． a>c>b 答案： C 类型三 与对数函数有关的图象问题
B． b>a>c D． c>b>a
例 3： 函数 y＝log 1 | x| 的大致图象是 ( ) 2
解析： 当 x＝1 时， y＝log 1 1 ＝ 0，排除 A； 2
当 x＝ 2 时， y＝ log 1 2 ＝－ 1，排除 B、C、故选 D． 2