北师大数学选修21应用案巩固提升：第三章 3.1 双曲线及其标准方程 含解析

[A 基础达标]

1．已知方程x 23＋m －y 2

3－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是( )

A ．－3

B ．m >0

C ．m ≥0

D ．m >3或m <－3

解析：选A.因为x 23＋m －y 2

3－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，3－m >0，

解得－3

2．以椭圆x 23＋y 2

4＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )

A.x 23－y 2

＝1 B.y 2－

x 2

3

＝1 C.x 23－y 2

4

＝1 D.y 23－x 2

4

＝1 解析：选B.由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为

y 2－

x 2

3

＝1. 3．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 2

9＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C

上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于( )

A.7

B.74

C.54

D.45

解析：选D.|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝a c ＝4

5

.

4．已知F 1，F 2为双曲线x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.1

4 B.3

5 C.34

D.45 解析：选C.双曲线方程可化为x 22－y 2

2＝1，a ＝b ＝2，c ＝2，由⎩

⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝22得|PF 2|＝

22，|PF 1|＝42，又因为|F 1F 2|＝2c ＝4，

在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2

2|PF 1||PF 2|＝

（42）2＋（22）2－422×42×22

＝3

4. 5．已知双曲线x 26－y 2

3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线

F 2M 的距离为( ) A.365

B.566

C.65

D.56

解析：选C.不妨设点F 1(－3，0)，

容易计算得出 |MF 1|＝

32＝62

， |MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝

52

6. 而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由1

2|MF 1|·|F 1F 2| ＝1

2

|MF 2|·d ， 求得F 1到直线F 2M 的距离d 为6

5

.

6．若点P 到点(0，－3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________． 解析：由题意并结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹方程为双曲线的上支，且c ＝3，2a ＝2，则

a ＝1，

b 2＝9－1＝8，所以点

P 的轨迹方程为

y 2－

x 2

8

＝1(y ≥1)． 答案：y 2－

x 2

8

＝1(y ≥1)

7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 2

12＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此

双曲线的右焦点的距离为________． 解析：双曲线右焦点为(4，0)， 将x ＝3代入x 24－y 2

12＝1，得y ＝±15.

所以点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)， 所以点M 到双曲线右焦点的距离为（4－3）2＋（±15）2＝4.

答案：4

8．设F 1，F 2是双曲线x 2－

y 2

24

＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则|PF 1|＝________．

解析：依题意有⎩

⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，

|PF 1|－|PF 2|＝2×1，解得|PF 2|＝6，|PF 1|＝8.

答案：8

9．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆心C 的轨迹L 的方程．

解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2，

所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝25，

所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1， 故圆心C 的轨迹L 的方程是x 24

－y 2

＝1.

10．已知双曲线x 24－y 2

9＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2＝90°，

求△F 1MF 2的面积．

解：由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 不妨设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1＞r 2)． 由双曲线定义得r 1－r 2＝2a ＝4.

两边平方得r 2

1＋r 22－2r 1·r 2＝16，

即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16，