上学期期末考试试题.ppt

y 1 e x e x 1 1 e x e x
4x x
2 x2 x
1 e x e x 1 e x e x
4x x
4x
4. 求y ( x 1)2( x 2)的凹凸区间。
解 y 2( x 1)(x 2) ( x 1)2 3( x2 1)
y 6x 令y 0 6x x 0
x2 cos x 2x sin x 2cos x C
三、设 y f ( x)在(, )上可导，且 f '( x) e x2 ( x2 1)( x 2)，试确定 y f ( x)的单调 区间。
令 f '( x) e x2 ( x2 1)( x 2) 0 解
得 x1 2, x2 1, x3 1 x (, 2), f ( x) 0 其单调递减； x (2, 1), f ( x) 0 其单调递增； x (1,1), f ( x) 0 其单调递减；
a
b
a b
，（3）
a
b
a
b
（8 分）．
七．设
f (x)
在[0,
2 ] 上连续，在(0,
)
2
内可导，且
f
( 2
)
0
，证明存在一点
百度文库
(0,
)
2
，使
f ( ) tg f '( ) 0
（5 分）
2000级《高数》上试题解答
一、1.
ln(3 x2 )
lim
x
x
解
原式
lim
x
3
2
x x
2
＝0
y y=sinx
x
A
0
sin
2x
3
sin
x
dx
o
x
3
y=sin2x
3
0
sin
2
x
sin
xdx
sin 3
x
sin
2
xdx
1 2
cos
2x
cos
x3 0
cos
x
1
2
cos
2x
3
5 2
六、非零向量a、b满足什么条件才使下列各式成立
((1解(2(3)1()))3aa)2aa2(a(aaaa22a2b2b22abb2a22)a)ab22aaba2babcbcobcoacbbosaso2cb(s(2os(a2(asaa,2(,,ba,bba2b,)))bab))cb(bbobb22scb2)22(o2aas,(ba)b,(cb(aoa(cb),sao,2b(ab,sa)b(),ab)b,b2)b2)20 0
2000 级《高等数学（上）》试题 一．试解下列各题（30 分）
1．求
lim x
ln(3
x
x
2
)
2．求
1
x dx 3x
4．求曲线 y (x 1)2 (x 2) 的凹凸区间
3 ．设 y e x e x ，求y ''
5．过球面 (x 3)2 ( y 1)2 (z 4)2 9 上一点 p(1, 0, - 2) ，求球面的切平面方程
两边同时对x求导有
1 1 1
1
3
2( x 2)2
ey
y sin
x
ey
cos
x
1 1 y2
y
x2
将x 0, y 1代入上式有
1 1 1
1
3
2(0 2)2
0
e1
1 1 12
y(0) y(0)
1
2e
02
2
五、求曲线y=sinx与y=sin2x在 [0, ]间围成的面积。
解
y sin x y sin 2x
1 tgx
解
原式＝
lim
x0
1 1 cos x sin x
lim
x0
1 x
1 x2 2
x
1 2
型
0型 0
4. 求 x2 sin xdx
解 两个相互独立的初等函数的积的形式
原式＝ x2d cos x x2 cos x 2 cos x xdx x2 cos x 2 xd sin x x2 cos x 2x sin x 2 sin xdx
型
(简单有理函数的极限)
2.
1
x 3
x
dx
解 简单有理函数的不定积分
原式
1 3
1
(1 1
3
3 x
x)
dx
1 3
1
1 3
x
dx
1 3
dx
1 ln 1 3x 1 x C
9
3
3. 设y e x e x ,求y
解 y e x 1 e x 1
2x
2x
1 e x e x 2x
二、1.
求
4 0
1
dx
x
解 换元 令t x, x t 2,dx 2tdt
x0t 0
x4t 2
原式＝
2
0
2tdt 1 t
2
0
2t
2 1 t
2dt
202dt
2
2 0
dt 1
t
2t ln(1 t)02
4 2ln 3
2.设曲线方程为
x
y
t
t
2
sin cos t
t
，求此曲线在
四．设方程 arccos 1 e y sin x arctgy 确定函数y y(x) ，求y '(0) （9 分）
x2
y sin x y sin 2x [0, ]
五．求曲线
与
在 间围成的面积（10 分）
六．指出非零向量a,
b
应分别满足什么条件才能使下列各式成立：
（1）
a b
a b
，（2）
x (1, ), f ( x) 0 其单调递增；
f (x)的递减区间为(, 2]和[1,1]； f (x)的递增区间为[2, 1]和[1, )。
四、设方程arccos 1 e y sin x arctgy确定函 x2
数 y y( x)，求 y(0)
解 隐函数的导数值 x 0时, y 1
x 0时, y 0,原曲线是凹的；
x 0时, y 0,原曲线是凸的。
5. 过球面( x 3)2 ( y 1)2 (z 4)2 9上一点 p(1, 0, - 2)，求球面的切平面方程
解 切平面为垂直于过球心o与p点直线的平面 且p
平面的法向量为 op {2,1,2}
切平面方程为 2( x 1) y 2(z 2) 0 即 2x y 2z 6 0
二．试解下列各题（28 分）
1．
求 4 dx 0 1 x
2．设曲线方
程为
x
y
t t
2
sin cos t
t
，求此曲线在
x
2
点处的切线方程
3．求
lim x0
1 x
1 sin
x
1 tgx
4．求 x 2 sin xdx
三．设 y f (x) 在 (, ) 上可导，且 f '(x) e x2 (x2 1)( x 2) 。试确定y f (x) 的单调区间（10 分）
x 2点处的切线方程
解 x t 2 sin t是单调函数,故
x 2时,t 0, y 1
dy ytdt 1 sin t dx xtdt 1 cos t
切线方程为 x2y 0
dy 1 sin 0 1 dx x2 1 cos 0 2
3.
求 lim x0
1 1 x sin x