常见求积分方法总结

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毕业论文（设计）

题目常见求积分方法总结

系别数学学院

专业数学与应用数学

学生姓名罗大宏

学号 120204036 年级 12级4班

指导教师刘信东职称 xxx

2016 年 3 月 10 日

常见求积分方法总结

作者：罗大宏

单位：宜宾学院数学学院12级4班

指导教师：刘兴东

摘要:微积分是数学分析中的一个重要基础学科，并且微积分中的积分运算是求导的逆运算，它是连接微分学和积分学的枢纽。因此怎样求积分就显得非常重要，本文讲解了常见求积分的几种方法：直接积分法、分部积分法、换元积分法和有理函数积分的待定系数法，掌握了这些方法，将对我们迅速求解积分来说非常重要。

关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法

引言

数学分析是大学数学与应用数学专业必修专业课，而微积分是数学分析的重点，又不定积分是积分学的基础，会影响到后面学习其它的积分，特别是定积分的求解。它的目的是形成一定的思维方法和解决问题的能力。并且不定积分的求解要比导数的求解复杂很多，运用积分的基本公式只能解决一些容易的积分，更多的不定积分要因函数的差别而采用相应的方法。另外，如果我们掌握了求不定积分的方法，那么求解定积分就变得容易。本文我们就对常见求积分方法进行总结，以便帮助我们解决一些实际问题。

1.积分的概念

1.1、不定积分

若()x F是函数()x f在区间I上的一个原函数，则()x f在I的所有原函数

()C

F+（C为任意常数）称为()x f在区间I上的不定积分。记作

x

()()C x F dx x f +=⎰。其中⎰称为积分号，函数()x f 称为被积函数，x 称为积

分变量，()d x x f 称为被积表达式，C 称为积分常数。

另外，求已知函数不定积分的过程就称作对这个函数进行积分。

1.2、定积分

设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，在[]b a ,内任意插入1-n 个分点：

,

,...,,,1321x x x x n -

,,a 令0x b x n == ,...1210b x x x x x a n n =<<<<<=- 把区间[]b a ,分为n 个小区间

[x x 10,],[x x 21,]，... ，[x x k k ,1-], ... ,[x x n n ,1-],

各个小区间的长度依次为

x x x 011-=∆, x x x 122-=∆,...,,1x x x n n n

--=∆

在每个小区间[x x i i ,1-]上任取一点ζi []()x x i i i ,1-∈∀ζ,作乘积

()x f i i ∆•ζ()

n i , (2)

1=，并作和式 ().1

x f S i n i i n

∆∑==ζ

记{}

,,...,,max 21x x x n ∆∆∆=λ当0→λ时，即n 无限增大时，S n 的极限如果存在并趋于I ，且I 与[]b a ,的分法及ζi 的取法无关，则称此极限I 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分，记作

()

()I x f dx x f i n

i i b

a

=∆∑=⎰=→1

0lim ζλ. 其中符号⎰叫做积分号，()x f 叫做被积函数，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[]b a ,叫做积分区间． 1.3 定积分与不定积分的联系

定积分的本质是将函数的图象在平面直角坐标系上用与y 轴平行的的直线和x 轴将它分割成很多个矩形。接着再把某个区间[]

b a ,上的矩形的面积累加起来，所形成的就是这个函数的图象在区间[]

b a ,的面积。而不定积分的本质是求一个函数的原函数，它们看起来没有联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？

这主要是由于一个重要理论：牛顿-莱布尼兹公式，让它可以计算积分，它的内容是： 若函数()x f 在区间[]

b a ,连续，且()x F 是()x f 的原函数，即()()x f x F ='

则()

()().a F b F dx x f b a -=⎰

2.1求不定积分的方法 2.1.1直接积分法

直接积分法就是通过积分的基础性质和基本积分公式求解不定积分的方法。该方法是求解不定积分的基本方法，是其它积分方法的根本，应熟练地掌握基本积分公式。在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。

基本积分公式：()1 ⎰+=为常数）

(k k C kx dx

()

2)1(1

11

-≠++=

⎰+a C dx x a dx x a a

()3 =⎰

dx x

1

C x +ln

()4 C a a

dx a x

x +=

⎰ln 1 ()1a ,0≠>a ()5 C e dx

e x x

+=⎰

()6 ⎰+-=C x xdx cos sin ()7 ⎰+=C x xdx sin cos ()8 C x xdx

+=⎰tan sec 2

()9 C

x dx

x

+-=⎰cot csc 2

()10 ⎰+=C x xdx x sec tan sec ()11 ⎰+-=C x xdx x csc cot csc

()

12C x C x dx x

12

arccos arcsin 11+-=+=⎰

-