数学建模影子价格

影子价格

例题1：某工厂计划在下一生产周期生产3种产品A1, A2, A3，这些产品都要在甲、乙、丙、丁4种设备上加工，根据设备性能和以往的生产情况知道单位产品的加工工时、各种设备的最大加工工时限制，以及每种产品的单位利润，如下表。问如何安排生产计划，才能使工厂得到最大利润？

解：设x1, x2, x3为产品A1, A2, A3的产量

线性规划模型为：

Max f=8x1+10x2+2x3

s.t. 2x1+x2+3x3≤70

4x1+2x2+2x3≤80

3x1 + x3≤15

2x1+2x2 ≤50

最优单纯形表为：

最优方案为：x 1＝0， x 2＝25， x 3＝15， x 4＝0 最大利润为280千元

现在从另一个角度来讨论问题

假设工厂考虑不安排生产，而准备将所有设备出租，收取租费。于是需要为每种设备的台时进行估价。

设y 1, y 2, y 3, y 4分别表示甲、乙、丙、丁4种设备的台时估价。由例1中的表可知，生产一件产品A 1需要各设备台时分别为2h ，4h ，3h ，2h ，如果将2h ，4h ，3h ，2h 不用于生产产品A 1，而是用于出租，租费应满足（为了不蚀本，租费不能少于利润） 2 y 1+4y 2+3 y 3+2 y 4≥8，依次可分析得线性规划模型如下

123412341

23123

12370801550243282210..322,,0

Min f y y y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩

说明：企业为了能够得到租用设备的用户，使出租设备的计划成交，在价格满足约束条件下，应将设备价格定得尽可能低（why ？）

最优解：y 1＝2/3， y 2＝0， y 3＝0， y 4＝14/3 最小租费：280千元 定义：

,,m n

1,,m

设***

*12ˆ(,,,)T

m y

y y y =为对偶问题（D ）的最优解，则称*i y 为原有问题（P ）第

i 个约束对应的影子价格（Shadow Price ）

由例1知*i y 是对第i 种资源（设备台时）的一种估价，这个价格不是市场价格，而是针对具体企业在一定时期内存在的一种特殊价格，它蕴含在求最大利润的生产计划模型中。

影子价格的经济含义：

（1）影子价格是对现有资源实现最大效益的一种估价。根据例1的讨论，企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或出租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租；第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。

（2）影子价格表明资源增加对总效益产生的影响。易见有

****

*

1122m m f z b y b y b y ==++

+

从而，如果i b 增加一个单位，目标函数值的增量将是*i y ，据此，由影子价格的大小可以知道哪种资源的增加可以给企业带来较大的收益。如例1中四种设备的影子价格分别为2/3，0，0，14/3，因此，在同样的条件下，增加设备丁是最有利的，不应增加设备乙和丙。

例2：某外贸公司准备购进两种产品A 1, A 2。购进产品A 1每件需要10元，占用5m 3的空间，待每件A 1卖出后，可获纯利润3元；购进产品A 2每件需要15元，占用3m 3的空间，待每件A 2卖出后，可获纯利润4元。公司现有资金1400元，有430 m 3的仓库空间存放产品，从而可得线性规划模型如下：

12

121212

3410151400

..53430,0Max z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩ 最优单纯形表

最优方案：x1＝50，x2＝60

最大利润：390

现在公司有另外一笔资金585元，准备用于投资，到底是购买产品呢？还是增加仓库容量？（假设增加1m3的仓库空间需要0.8元）

由上表知，仓库的影子价格y2＝1/9，即增加1m3的仓库空间，公司可多获利1/9元，又增加1m3的仓库空间需要0.8元，从而，每增加1元投资可多获利10/72元，近似为0.14元；购买产品的资金的影子价格y1＝11/45，每增加1元购买产品可多获利11/45元，近似为0.24元。因此，投资应该用于购买产品而不是增加仓库容量。585元进行投资之后，最大利润为585 y1＝143元（）