大学物理——质点以及质点系动力学

改变，即其惯性越大；质量小的物体，惯性越小。
3
第二、三定律描述的是瞬时关系
如：某时刻物体受力
F
作用，该瞬间物体就有相应的加速
度，力的大小和方向发生变化，加速度也立即有相应的变
化，一旦外力消失，加速度立即为零。
第三定律指出物体间的作用力必定是相互的，同时存在两 个力，相互作用的两个物体相互关联，它们都是受力者， 也都是施力者。 由于这一定律是在讨论物体平动时总结出来的，所以只适 用于处理质点的运动。

F1

dr1
( F1 )


dr2

F1 (dr1 dr2 ) F1 dr12
26
讨论
dW内

F1
dr12
(a) 一对内力的功等于作用于其中一个质点上的内力在该质 点相对于另一质点的相对位移过程中所作的功。
相当于将相互作用的两个物体中的一个物体看成是
17
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3.动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守 恒。 4. 若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管总 动量可能并不守恒。 5. 当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞）可认为动量近 似守恒。 6. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本，在宏观和微观 领域均适用。 7. 用守恒定律作题，应注意分析过程、系统和条件。 18
a2

a1
G x
在 x , y 方向上有：
ax a2 a1 sin
①
ay a1 cos
②
牛顿定律方程：
mg sin
FN

mg
m(
cos
a2

a1 ma1
sin ) cos
③ ④
9
由式③得： a2 (g a1) sin
代入式① ②得：
4
力学中常见的几种力
★ 万有引力 任何两质点间都存在相互吸引力，称为万有引力。
大小：
F

G
m1m2 r2
万有引力常量 G 6.67 1011 N m2 kg2
★重 力
地球表面附近的物体都要受地球引力的作用。
W mg
g

GmE R2
9.80m s-2
g 的大小因所在地点的纬度和离地的高度而异，
m1 L m1 m2
负号表示斜面的位移沿 x 轴负方向。 注意：m1下滑过程中，水平方向上m1对m2以及m2对地均 是非匀速运动。
20
§2-3 功和动能定理
★功
（恒力作用 直线运动）
力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小
的乘积。 （功是标量，过程量）
力的空间累积效应:
F
y
0
12
§2-2 动量定理和动量守恒定律
★ 质点组 内力和外力 在一个质点组构成的力学系统中，我们把系统外的物体对 系统内各质点的作用力称为外力，把系统内各质点间的相 互作用力称为内力。
内力特点：成对出现;大小相等方向相反

结论：质点系的内力之和为零 fi 0
i
质点系中的重要结论之一
系统内任一质点受力之和写成 Fi fi
向相反。
2
牛顿第一定律 （惯性定律）
惯性：任何物体都有保持静止或匀速直线运动的特性。 惯性是物体本身具有的属性，与物体是否受力，是否运 动无关，也与物体的运动速度无关。
第二定律指出：物体的质量是惯性大小的量度。
F

ma
相同的力作用下，质量大的物体产生的加速度小，即物
体运动状态的变化较小。表示质量越大，运动状态越难
90 180 , dW 0

90 ,
F
dr
,
dW

0
dr
dr


dr
F
23
★ 功率
功率反映作功的快慢。
平均功率 N W
t
W

F
r
瞬时功率
N
lim
ΔW
dW

F

Δt0 Δt
dt
N Fv cos
功率的单位：（瓦特） 1W 1J s1 1kW 103 W
一切外力所作功与一切内力所作功的代数和等于质点 组动能的增量。
W外 W内 Ek E k0
或 W外 W内 Ek
系统的内力可以改变系统内单个质点的动量，但对
整个系统来说，所有内力的冲量和为零，系统的内力不
能改变系统的总动量。
★ 动量守恒定律
在某时间内，如果质点组所受外力矢量和始终为零，则在
该时间内质点组的总动量守恒。

Fi外 0

pi

p0i
=
常量
Fix 0
pix p0ix
ax a2 a1 sin g sin ay a1 cos
物体对地的加速度：
a

g
sin

i

a1
cos
j
大 小： a g 2 sin 2 a12 cos2
方 向： tan ay a1 cot 为 a 与 x 正向夹角
ax g
mv sin α mv sin 0
mv1
x

mv2
y
F

Fx

2mv cos
t
14.1N
方向沿 x 轴反向
16
★ 质点组动量定理
质点组的合外力的冲量等于系统总动量的增量。
t n
(
t0 i1
Fi外 )dt

n i 1
mi vi

n i 1
mi v0i
静止的，并以它所在位置为坐标原点，求另一物体在此
坐标系中运动时它所受力的功。
(b)
只有当dr12
0或
F1
dr12时，一对内力的功才为零，
一般情况下， dW内 0
27
F
m

M


F

dr12
dr1
dr2

dr2
F
F
显然， F和 F 的功均不为零，即：
质点系
外力之和
内力之和 13
★动 量
用质点的质量和速度的乘积来定义该质点的动量。
p m
从动量是否变化来判
牛顿第二定律可表示为：F dp
断是否受外力作用。
dt
F

dp

d(mv)
Fdt

dp

d
(mv)
dt dt
t
Fdt
t0

p

p0

mv mv0
o
L
x
而 1x 2 u u为m1相对m2的水平速度
2


m1u m1 m2
,
0
19
由dx dt ，积分可求得两个阶段中斜面对地的总位移
x
t1 0
2dt

t2 dt
0
t1 m1u dt 0
0 m1 m2
m1
t1 udt
m1 m2 0
Fra Baidu bibliotek
例2-4 质量为m1的物体放在质量为m2的弧形斜面上，斜面底 边为水平面，如图。设所有接触面摩擦可忽略，m1从静止滑 下落入下面凹部而相对m2静止，问m2可滑多远？
解：下滑过程分为两阶段：(1) m1下滑至
m1
落入凹部前；(2) m1落入凹部后。
水平方向系统动量守恒：
m2
0 m11x m22 (m1 m2 )
F

P
t
15
例2-3 一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的刚球,以与钢板法线呈 45º角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来，设碰
撞时间为0.05s。求在此时间内钢板所受到的平均冲力 F 。
解：建立如图坐标系，由动量定理得
Fxt mv2x mv1x
mv cos (mv cos ) 2mv cos Fyt mv2 y mv1y
24
★ 质点的动能定理
W


F
dr


F
cosds


Ft ds
牛顿第二定律
Ft

mat

m
dv dt

drFt
F
Fn
W
v m dvds v0 dt
v
mvdv
v0

1 2
mv2

1 2
mv02
动能（状态函数） 动能定理
Ek

1 2
mv 2
合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量。
B
W A F cosds
或
W
rB
F

dr
rA
变力做功的定义式和计算式
22
若有多个力同时作用于一个质点，其合力的功等于各分力
的功的代数和。
A
B A F合
ds

Ai
i
注意：A是标量，反映了能量的变化，是过程量。
正负：取决于力与位移的夹角
dW

F

dr
0 90 , dW 0
桥梁是加速度
a
解题步骤： 确定对象 分析运动
进行受力分析，画受力图
列方程
解方程
8
例2-1 升降机以加速度a1上升，其中光滑斜面上有一物体m沿
斜面下滑。 求：物体对地的加速度
a
？
斜面所受正压力的大小？
y
解： 由于升降机对地有加速度，为一非惯性
FN
a1
系，故选地面为参考系，设坐标如图。
a2
a

通常取9.8 m/s2
5
F

G
m1m2 r2
引力质量
相等？
等 效
原
W mg
惯性质量
理
到目前为止， 认为两者相等
★ 弹性力 物体在外力作用下产生形变，形变物体内部产生企图 恢复原来形状的力。
f kx
绳子被拉伸时绳中产生的弹性力
张力
两物体相互挤压发生形变，接触面之间的弹性力 正压力
6
★ 摩擦力
a1、
a2
,
m1
FT
0
m1g FT m1a1 m2 g FT m2a2 a1 ar a a2 ar a
ar

FT

m1 m2 m1 m2 2m1m2 m1 m2
(g a) (g a)
a1
P1 y
m2

a2FT
P2
两个彼此接触的物体有相对运动或有相对运动趋势时， 相互阻碍相对运动的力称为摩擦力。
静摩擦力
有相对滑动趋势，但没有相对运动 其大小因所受外力大小而不同，是变量 存在最大静摩擦力∝正压力
滑动摩擦力
物体间有相对滑动 滑动摩擦力∝正压力，µ 称为滑动摩擦因数
7
牛顿运动定律应用 两类问题： 已知运动求力 已知力求运动
由式④得： FN m(g a1) cos
10
例2-2 阿特伍德机
(1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计，滑
轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力
均不计.且 m1 m2 . 求重物释放后，物体
的加速度和绳的张力.
m1 m2
解: 以地面为参考系
画受力图、选取坐标如图
m1mg2g
FT FT
m1a m2a
a m1 m2 g m1 m2
FT

2m1m2 m1 m2
g
FT
0

a2FT
y
a1

P1 y P2 0
11
(度2)a若相将对此地装面置向置上于运电动梯时顶，部求，两当物电体梯相以对加电速梯
的加速度和绳的张力.
ar
a
ar
解:以地面为参考系
设且两相物对体电相梯对的地加面速的度加为速ar度分别为
第二章 质点和质点系动力学
1
§2-1 牛顿运动定律
牛顿运动定律分析
牛顿第一定律 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外 力迫使它改变运动状态为止。
牛顿第二定律
物体受到外力作用时，它所获得的加速度 a 的大小与合
外力的大小成正比，与物体的质量成反比。
牛顿当作第物 用三体在定物律A 体以力A 上F，作F用 与在F物在体一B条上直时线，上物，体大B小同相时等以，力方F
对 r积累
W FS cos
W

F

r
功的单位：焦耳（J） 1J=1N·m
W

F
r
S
21
★ 变力的功 （变力作用 曲线运动） 微分 （恒力作用 直线运动）
元功：每个位移元上力所作的功可以看作恒力在无限短
的直线运动中的功。
dW

F
dr

F
cosds
质点从 A 到 B 力所作的总功：
dWF1 dWF 2

F F

dr1

F1 cos
dr1

dr2 F2 cos dr2
0
0
不能迅速判 断内力做功 是否为零！
根据：
dW内

F1

dr12


dW内 F1 dr12 F1cos 2 dr12 0
28
★ 质点组的动能定理
W Ek E k0
25
★ 内力的功 已知：质点组内质点之间相互作用的内力等大反向。
? 一对内力： I 0 那么： W 0
m1 F1
dr1

F2
m2
dr2

m1 F1
dr2

dr12
dr1
dW内 dW1 dW2 F1 dr1 F2 dr2
★冲 量
力对时间的积分（矢量）
t I Fdt
t0
14
★ 质点动量定理
合外力的冲量等于质点动量的增量。
I

m

m0
(1)定理的形式特征
(过程量)=(状态量的增量)
(2)估算平均作用力
将积分用平 均力代替
t

Fdt Ft
t0
平均力 写为
动量定

理写为 Ft P