第3节 动量、动量守恒定律

t
t2 n
1
t2 Fi外 dt t1 i 1
因为内力成对出现
n n f ji dt mivi 2 miv i1 i 1 j 1 i 1 i 1
n n1

n n1
i 1 j 1
f ji 0
１）峰值冲力的估算 ２）当动量的变化是常量时，有
f 0 t t
1 F t
t+△ t
３） 当相互作用时间极短，相互间冲力极大，此时某些有限主动外力（如重力等）可 忽略不计。
4
2.3.2 质点系的动量定理
1、内力与外力 i质点所受的内力
Fi外
f ji
fij
j
f ji
j 1
i质点所受合力
则系统无论沿那个方向的动量都守恒；
若
，但若某一方向的合外力零， Fi 0
则该方向上
动量守恒；
(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中； (4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力， 运用动量守恒。
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例2.5 一弹性球，质量m＝0.20 kg，速度v＝5 m/s，与墙碰撞后弹回.设弹回时速 度大小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是α(图2.12)，设球和墙碰 撞的时间Δt＝0.05 s，α＝60 °，求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力.
注意：动量守恒式是矢量式 (1)守恒条件是

i 1
n
Fi 0
而不是

t2
t1
( Fi )dt 0
8
Fi 0
n i 1
n
ห้องสมุดไป่ตู้
表示系统与外界无动量交换，

(2)若
t2
t1
( F )dti 0
i 1
表示系统与外界的动量交换为零。


i 1 n
n
i 1
Fi 0
S Vdt
0 t
m R M+m
12
* 2.3.4
质心和质心运动定理
1.问题的提出
2.质心运动定理
3.质心的含义及其计算
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这说明内力对系统的总动量无贡献， 但对每个质点动量的增减是有影响的。
6
于是有

t2
t1
n n n Fi外 dt mi vi 2 mi v i1 i 1 i 1 i 1
或

t2
t1
n Fi外 dt P2 P 1 i 1
解 以m和M为研究系统，其在水平方向不受外力(图中所画是m和M所 受的竖直方向的外力)，故水平方向动量守恒.设在下滑过程中，m相对 于M的滑动速度为 v，M对地速度为V，并以水平向右为x轴正向，则在 水平方向上有
m(vx V ) MV 0
解得
mM vx V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t Mm t R vx dt 0 Vdt 0 m 于是滑槽在水平面上移动的距离
解方程得
fx 0
fN 2mv cos 2 0.2 5 0.5 20 N t 0.05
按牛顿第三定律，球对墙的平均作用力和 f N 的方向相反而等值，即 垂直于墙面向里.
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例2.6 如图2.13所示，一辆装矿砂的车厢以v＝4 m/s的速率从漏斗下通过， 每秒落入车厢的矿砂为k＝200 kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与 车厢多大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦). 解 设t时刻已落入车厢的矿砂质量为m， 经过dt后又有dm＝kdt的矿砂落入车厢.取 m和dm为研究对象，则系统沿x方向的动 量定理为
质点系合外力的冲量 = 质点系动量的增量。
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2.3.3 质点系的动量守恒定律 n 若系统所受的合外力 Fi 0
i 1
系统总动量守恒

mi vi 常矢量
i 一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内 各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。
§2-3 动量 动量守恒定律
力的瞬时效应→ 加速度：牛顿定律
力的时间积累 动量定理 力的积累效应── 力的空间积累 动能定理 2.3.1 质点的动量定理
１、动量的引入 在牛顿力学中，物体的质量可视为常数 故
dv d (mv ) F m dt dt
即
Fdt d (mv )

t2
t1
Fdt mv2 mv1
1
１）式中
mv
P mv
叫做动量，是物体运动量的量度。
指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。
２）动量
是矢量，方向与
同； v
动量是相对量，与参照系的选择有关。 ２、冲量的概念 １） 恒力的冲量 作用力F＝恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，
I F (t2－t1 )
冲量的方向与力的方向相同。
２） 变力的冲量
dI Fdt
力在某一段时间间隔内的冲量
t I Fdt
to
2
此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。
3、质点的动量定理
即
t2 I Fdt mv 2 mv1
t1
其表示：物体所受外力的冲量等于物体动量的增量。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm· 0)＝vdm＝kdt v
则
F kv 200 4 8 102 N
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例2.7 如图2.14所示，一质量为m的球在质量为M的1/4圆弧形滑槽中从静 止滑下.设圆弧形槽的半径为R，如所有摩擦都可忽略，求当小球m滑到槽 底时，M滑槽在水平上移动的距离.
解 以球为研究对象.设墙对球的平 均作用力为f，球在碰撞前后的速度 为 v1 和 v2 ，由动量定理可得
f t mv2 mv1 mv
将冲量和动量分别沿图中N和x两方向 分解得：
f x t mv sin mv sin 0
f N t mv cos (mv cos ) 2mv cos
在直角坐标系中的分量式
Ix Iy Iz

t2
t1 t2
Fx dt mv2 x mv1x Fy dt mv2 y mv1 y Fz dt mv2 z mv1z
3

t1 t2
t1
４、动量定理的应用 平均冲力概念
f
F
t2 1 mv2 mv1 t1 Fdt t2 t1 t 2 t1
n 1
i
n1 Fi外 f ji
2、i质点动量定理
j 1
t
t2
1
t2 n1 Fi外dt ( f ji )dt mi vi 2 mi vi1
t1 j 1
5
3、质点系的动量定理（对i求和）

i 1
n
t2
t1
n n n t 2 n 1 Fi 外dt f ji dt mi vi 2 mi vi1 i 1 t1 j 1 i 1 i 1