数列极限及其性质2009

第2讲 数列极限概念及其性质
讲授内容
一、数列极限概念
数列 ,,,,,21ΛΛn a a a 或简单地记为}{n a ，其中n a ，称为该数列的通项．
关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子． （1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽. 园内接正n 边形的面积n
R n A n π2sin
22=
Λ,4,3(=n ），当∞→n 时，22
22sin
R n
n R A n ππ
π
π→=
（2） 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去． 第一天截下
21，第二天截下221，……，第n 天截下n 21，……这样就得到一个数列ΛΛ,21,,21,212n ．或⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n 21.不难看出，数列{
n 21}的通项n 2
1
随着n 的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列}{n a ，若当n 无限增大时n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．
定义1 设}{n a 为数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当，n >N 时有ε
<-||a a n
则称数列}{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，并记作a a n n =∞
→lim ，或)(∞→→n a a n .读作“当n
趋于无穷大时，n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”．
若数列}{n a 没有极限，则称}{n a 为发散数列．下面举例说明如何根据N -ε定义来验证数列极限．
二、根据N -ε定义来验证数列极限
例2 证明01
lim =∞→αn
n ，这里α为正数
证：由于 ,1
|01|ααn
n =-故对任给的ε>0，只要取N=111
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡αε
，则当N n >时，便有
εαα<<N n 11 即.|01|εα<-n 这就证明了01
lim =∞→αn
n . 例3 证明33
3lim 2
2
=-∞→n n n . 分析 由于n n n n 939|333|22
2≤-=-- ).3(≥n 因此，对任给的ε>o ，只要ε<n 9
，便有 ,|333|22ε<--n n 即当ε9>n 时，(2)式成立．故应取}.9
,3max{ε
=N 证 任给,0>ε取}.9
,3max{ε
=N 据分析，当N n >时有,|333|2
2
ε<--n n 式成立.于是本题得证. 例4 证明n
n q ∞
→lim =0，这里||q <1．
证 若q =0，则结果是显然的．现设0<||q <1．记1|
|1
-=
q h ，则h >0．我们有 并由≥+n
h )1(1+nh 得到.111||nh nh q n
<+≤
对任给的,0>ε只要取,1
h
N ε=则当N n >时，得
ε<-|0|n q ，这就证明了0lim =∞
→n n q .
注：本例还可利用对数函数x y lg =的严格增性来证明，简述如下：对任给的ε>0(不妨设ε<1)，为使
ε<=-n n q q |||0|，只要εlg ||lg <q n 即||lg lg q n ε>
（这里).1||0<<q 于是，只要取|
|lg lg q N ε
=即可。

例5 证明1lim =∞
→n n a ，其中a >0．
证：(ⅰ)当1=a 时，结论显然成立.
(ⅱ) 当1>a 时，记11
-=n
a α，则0>α.由 )1(11)1(1-+=+≥+=n
n
a n n a αα得
.
1
11n a a n
-≤
- （1） 任给0>ε，由(1)式可见，当N a n =->
ε
1
时，就有ε<-11n a ，即|1|1-n
a ε<.所以1lim =∞
→n n a .
(ⅲ) 当10<<a 时，,
β=－１１
n
a
，则0>β. 由
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=+≥+=1111)1(1
n
n a n n a ββ得 .
1
.11111
n a a n a a n n
-<-≤--- （2）
任给0>ε，由（2式可见，当N a n =-+
>-ε
1
1１时，就有ε<-n a 11，即|1|1-n
a ε<.所以1lim =∞
→n n a .
关于数列极限的ε—N 定义，应着重注意下面几点：
1．ε的任意性：尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N ，又ε既时任意小的正数，那么
23,2
εεε
或等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式ε<-||a a n 中的ε可用
或εε3,2
2ε等来代替．
2．N 的相应性： 一般说，N 随ε的变小而变大，由此常把N 写作N(ε)，来强调N 是依赖于ε的；但这并不意味着N 是由ε所唯一确定的.
3．从几何意义上看，“当n >N 时有ε<-||a a n
”意味着：所有下标大于N 的项ｎa 都落在邻域U(ε;a )内；而在U(a;ε)之外，数列{n a }中的项至多只有N 个(有限个)．
定义2 若0lim =∞
→n n a ，则称}{n a 为无穷小数列．由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：
定理1.2 数列}{n a 收敛于a 的充要条件是：}{a a n -为无穷小数列．
三、收敛数列的性质
定理2.2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．
定理2.3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有
证：设a a n n =∞
→lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有
1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,m ax {|21+-=a a a a a M N Λ
则对一切正整数n 都有n a ≤M ． 注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列()
{
}n
1-有界，但它并不收敛．
定理2.4 (保号性) 若0
lim >=∞
→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a '))0,(a ∈，存在正数N ，使
得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．
证： 设0>a ．取a a '-=ε(>0)，则存在正数N ，使得当N n >时有εε->>+a a a n ，即
a a a n '=->ε，这就证得结果．对于0<a 的情形，也可类似地证明．
注：在应用保号性时，经常取2a a =
'.即有2a a n >，或2
a a n < 定理2.5(保不等式性) 设{}n a 与{}n
b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞
→∞
→≤
请学生思考：如果把定理 2.5中的条件n n b a ≤换成严格不等式<n a n b ，那么能否把结论换成
?lim lim n n n n b a ∞
→∞
→<，并给出理由 .
例1 设()K ,2,10=≥n a n ．证明：若,lim a a n n =∞
→则.lim
a a n n =∞
→
证： 由定理2.5可得.0≥a
若0=a ，则由0lim =∞
→n n a ，任给0>ε，存在正数N ，使得当N n >时有<n a 2
ε，从而ε<n a 即
,0ε<-n a 故有.0lim =∞
→n n a
若0>a ，则有
a
a a a
a a a a a n n n n -≤
+-=
-.任给0>ε，由a a n n =∞
→lim ，存在正数N ，使得当
N n >时有,εa a a n <-从而ε<-a a n ．故得证．。