数列极限及其性质2009
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第2讲 数列极限概念及其性质
讲授内容
一、数列极限概念
数列 ,,,,,21ΛΛn a a a 或简单地记为}{n a ，其中n a ，称为该数列的通项．
关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子． （1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽. 园内接正n 边形的面积n
R n A n π2sin
22=
Λ,4,3(=n ），当∞→n 时，22
22sin
R n
n R A n ππ
π
π→=
（2） 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去． 第一天截下
21，第二天截下221，……，第n 天截下n 21，……这样就得到一个数列ΛΛ,21,,21,212n ．或⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n 21.不难看出，数列{
n 21}的通项n 2
1
随着n 的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列}{n a ，若当n 无限增大时n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．
定义1 设}{n a 为数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当，n >N 时有ε
<-||a a n
则称数列}{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，并记作a a n n =∞
→lim ，或)(∞→→n a a n .读作“当n
趋于无穷大时，n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”．
若数列}{n a 没有极限，则称}{n a 为发散数列．下面举例说明如何根据N -ε定义来验证数列极限．
二、根据N -ε定义来验证数列极限
例2 证明01
lim =∞→αn
n ，这里α为正数
证：由于 ,1
|01|ααn
n =-故对任给的ε>0，只要取N=111
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡αε
，则当N n >时，便有
εαα< lim =∞→αn n . 例3 证明33 3lim 2 2 =-∞→n n n . 分析 由于n n n n 939|333|22 2≤-=-- ).3(≥n 因此，对任给的ε>o ，只要ε ，便有 ,|333|22ε<--n n 即当ε9>n 时，(2)式成立．故应取}.9 ,3max{ε =N 证 任给,0>ε取}.9 ,3max{ε =N 据分析，当N n >时有,|333|2 2 ε<--n n 式成立.于是本题得证. 例4 证明n n q ∞ →lim =0，这里||q <1． 证 若q =0，则结果是显然的．现设0<||q <1．记1| |1 -= q h ，则h >0．我们有 并由≥+n h )1(1+nh 得到.111||nh nh q n <+≤ 对任给的,0>ε只要取,1 h N ε=则当N n >时，得 ε<-|0|n q ，这就证明了0lim =∞ →n n q . 注：本例还可利用对数函数x y lg =的严格增性来证明，简述如下：对任给的ε>0(不妨设ε<1)，为使 ε<=-n n q q |||0|，只要εlg ||lg （这里).1||0< |lg lg q N ε =即可。 例5 证明1lim =∞ →n n a ，其中a >0． 证：(ⅰ)当1=a 时，结论显然成立. (ⅱ) 当1>a 时，记11 -=n a α，则0>α.由 )1(11)1(1-+=+≥+=n n a n n a αα得 . 1 11n a a n -≤ - （1） 任给0>ε，由(1)式可见，当N a n =-> ε 1 时，就有ε<-11n a ，即|1|1-n a ε<.所以1lim =∞ →n n a .