专题六第二讲概 率(A)

第二讲 概 率(A)
1．(2013·高考江西卷) 集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A.23
B.12
C.13
D.16 2.
(2013·高考陕西卷)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A ．1－π4 B.π
2－1
C ．2－π2 D.π
4
3．(2013·温州市适应性测试)记a ，b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的概率为( )
A.518
B.14
C.310
D.910
4．从x 2m －y
2n
＝1(其中m ，n ∈{－1，2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)
方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )
A.12
B.47
C.23
D.34 5．(2013·高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的
最大边是AB ”发生的概率为12，则AD
AB
＝( )
A.12
B.14
C.32
D.74 6．(2013·高考重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
7．下面程序框图可用来估计π的值(假设函数CONRND(－1，1)是产生随机数)的函数，它能随机产生区间(－1，1)内的任何一个实数)．如果输入1 000，输出的结果为788，则由此可估计π的近似值为________．(保留四位有效数字)
8．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．
9．(2013·高考湖南卷)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42
1米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：
Y 51 48 45 42
频数
4 (2)的概率．
10．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为5
12
，
求甲停车付费恰为6元的概率；
(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．
11.
(2012·高考江西卷)如图所示，从A1(1，0，0)，A2(2，0，0)，B1(0，1，0)，B2(0，2，0)，C1(0，0，1)，C2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点．
(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
(2)求这3点与原点O共面的概率．
答案：
1．【解析】选C.从A ，B 中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，
3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2，2)，(3，1)2个基本事件，所以P ＝26＝1
3
.
2．【解析】选A.取面积为测度，则所求概率为P ＝S 图形DEBF
S 矩形ABCD ＝2×1－π×12×1
4×22×1
＝
2－
π22＝1－π4.
3．【解析】选B.由题意知分别投两次骰子所得的数字分别为a ，b ，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个；而方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的条件是a 2－8b >0，因此满足此条件的基本事件有：(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，
4)，共有9个，故所求的概率为936＝1
4.
4．【解析】选B.当方程x 2m －y
2n
＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m <0，
n >0，所以方程x 2m －y 2
n
＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，
－1)，(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x 轴上的双
曲线时，则m >0，n >0，有(2，2)，(3，2)，(2，3)，(3，3)，共4种，所以所求概率P ＝4
7
.
5．【解析】选D.
由于满足条件的点P 发生的概率为1
2
，且点P 在边CD 上运动，根据图形的对称性当点
P 在靠近点D 的CD 边的1
4
分点时，EB ＝AB (当点P 超过点E 向点D 运动时，PB >AB )．设
AB ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 交AB 于点F ，则BF ＝3
4
x .在Rt △FBE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2
－FB 2＝716x 2，即EF ＝74x ，∴AD AB ＝7
4.
6．【解析】甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)
共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为46＝2
3
.
【答案】2
3
7．【解析】根据程序框图的运行可知，在区间(－1，1)内的1 000个数中满足两数平方
和小于或等于1的有788个．换句话说：在满足⎩
⎪⎨⎪⎧－1<x <1
－1<y <1的1 000个数中，又满足x 2＋y 2≤1
的数共有788个，由几何概型可知π4＝788
1 000
，于是π＝3.152.
【答案】3.152 8.
【解析】设两串彩灯第一次分别在第x ，y 秒闪亮，那么所有基本事件的总体满足
⎩⎪⎨⎪
⎧0≤x ≤40≤y ≤4，而满足第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件A 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤40≤y ≤4|x －y |≤2
，于是作图可得P (A )＝16－2×216＝3
4.
【答案】3
4
9．【解】(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4
51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋126
15
＝690
15
＝46. (2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝4
15
.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝
51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝2
5
.
10．【解】(1)设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A .
则P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫13＋512＝1
4.
所以甲停车付费恰为6元的概率是1
4
.
(2)设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中a ，b ＝6，14，22，30. 由甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：
(6，6)，(6，14)，(6，22)，(6，30)，(14，6)，(14，14)，(14，22)，(14，30)，(22，6)，(22，14)，(22，22)，(22，30)，(30，6)，(30，14)，(30，22)，(30，30)，共16种情形．
其中(6，30)，(14，22)，(22，14)，(30，6)这4种情形符合题意． 故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为
P ＝416＝14.
11．【解】从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种；
y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．
所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．
因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．
(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A 1B 1C 1，
A 2
B 2
C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为
P 1＝220＝110
.
(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这
3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝3
5
.。