高考数学一轮复习：10.1 基本计数原理 人教版

变式3.将3种作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试 验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种．(以数字作答)
解析：3×2×2×2×2－ ×2＝42. 答案：42
【方法规律】
1. 弄清是分步还是分类问题关键在于看是一步完成，还是多步完成．利用分步 计数原理要注意各步方法之间相互依存、互不影响；而使用分类计数原理主 要是遵循“不重、不漏”的原则．
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，重视 两个原理的灵活运用，并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情”是什 么，完成这件事情的含义和标准是什么． (2)明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是既要“分类”又要“分 步”，并搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么． (3)用两个计数原理解决的主要问题包括：①排数；②计算有限集合A到B的映射 的个数；③涂色问题等．
2．分步计数原理从某种程度上简化了分类计数原理的运算过程，如例2也可利用 分类计数原理．
3．本节提供的具体模型有： (1)各取一个与任取一个问题； (2)排数问题(注意有重复数字和没有重复数字的区别)； (3)涂色问题等.
(本题满分5分)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得 放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少 种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．
【例1】由数字1,2,3,4 (1)可组成多少个3位数； (2)可组成多少个没有重复数字的3位数； (3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数 字大于个位数字．
解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有 ＝ 60 种 涂 法 ； 又 D 与 B 、 C 相 邻 、 因 此 D 有 3 种 涂 法 ； 由 分 步 计 数 原 理 知 共 有 60×3＝180种涂法． 解法三：也可利用分类计数原理计算： 第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种涂法； 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不相邻只能是A、D两区域 颜色一样共 ·1＝60种涂法． 由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．
2．分步乘法计数原理 做一件事情，完成它需要两个步骤，做第一步有种m不同的方法，做第二步有 n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m×n 种不同的方法．
1．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有( )
A．238个
B.232个 C．174个 D．168个
解析：可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数共有3·43＝192(个)，其中无重
分步计数原理与分类计数原理的根本区别在于“多步”完成，还是“一步”完成， 分步计数原理要求步与步之间的方法相互独立，每一步各取一种方法即可完成一 件事；而分类计数原理要求每一类中的每一种方法都可完成这件事，其要求是不 重不漏，从某种程度可以说分步计数原理可以简化分类计数原理的过程．
【例2】若A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{b1，b2，b3}．试问从A到B可建立多少种 不同的映射？ 解答：解法一：可分步计算 第一步：a1与B中唯一的元素对应有3种方法； 第二步：a2与B中唯一的元素对应有3种方法； 第三步：a3与B中唯一的元素对应有3种方法； 第四步：a4与B中唯一的元素对应有3种方法． 由分步计数原理，可建立从A到B的映射共有34＝81(个)．
4．将4个不同的球放入两个不同的盒子中，不同的放法共24＝16种放法，也可在 16种结果中找出满足条件的所有方法，避免出现错误．
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同学们，再见！
解答：(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据 分步计数原理共可组成43＝64个3位数． (2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数 原理共可排成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)． (3)排出的三位数分别是432、431、421、321共4个.
【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域 只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？ 解答：解法一：如题图分四个步骤来完成涂色这件事： 涂A有5种涂法； 涂B有4种方法； 涂C有3种方法； 涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)． 根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．
f(n)，则下列猜想中正确的是( )
A．f(n)＝n
B．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)
C．f(n)＝f(n－1)·(n－2)
D．f(n)＝
解析：n＝1,2时，显然f(n)＝n，n≥3时，f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)．
答案：D
4．如下图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使 用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________ 种．(以数字作答) 答案：72
复的数字的四位数共有3 ＝18(个)，故有重复数字的四位数共有192－18
＝174(个)．
答案：C
2．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构
成空间直角坐标系中点的坐Байду номын сангаас，则确定的不同点的个数为( )
A．33
B．34
C．35
D．36
解析：
答案：A
3．上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有的不同上法的总数为
2．本题主要是利用分类计数原理考查分类讨论的思想方法，而对特定的情况分 步计数原理可以简化分类计数原理的过程．
3．考卷实录中提供的解答看似合理，如果按算法得出的24种结果全部列出，不 难发现出现了“大面积”的重复现象，解题错因是由于先放和后放造成一个 盒中不同的球产生顺序，从而导致重复，排列组合的根本区别是在于“有序” 和“无序”，更重要的是如何在运算过程中体现“有序”和“无序”，学习 排列组合的最好方法就是理论联系实际，抽象问题具体化．
A．10种
B．24种
C．36种
D．52种
【考卷实录】
【答题模板】
解析：在编号为1和2的两个盒子里，分别可放1,3个或2,2个小球．
由分类计数原理不同的放球方法的种数是
＝10.
答案：A
【分析点评】
1．分类计数原理、分步计数原理是解决排列组合和概率问题的基础，贯穿始终， 高考考查两个原理比如着色问题，取放球等问题，而考查其他问题也是与两 个原理密切相关的．
解法二：可分类计算 第一类：“四对一”的情况共3种； 第二类：“三对一，一对一”的情况共 ＝24(种)； 第三类：“二对一、二对一”的情况共 ＝18(种)； 第四类：“二对一，一对一，一对一”的情况共 ＝36(种)． 由分类计数原理从A到B的映射共有81个．
变式2.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？ 解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)． 获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种).
第十单元 排列 组合与概念
10.1 基本计数原理
(理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理/会用两个原理分析和 解决一些简单的计数应用问题)
1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有两类不同方案，在第一方案中 有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法．