2021届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课件文北师大版2021021918

a2＝__b_2_＋__c_2__
1．e 与ba：因为 e＝ac＝ a2a－b2＝ 1－ba2，所以离心率 e 越大，则ba越小，椭圆就 越扁；离心率 e 越小，则ba越大，椭圆就越圆． 2．点与椭圆的位置关系 已知点 P(x0，y0)，椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，则
(1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔xa202＋by202＜1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔xa202＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔xa202＋by202＞1. 3．设椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有最小值 b，
[答案] D
(2)已知动圆 M 过定点 A(－3，0)并且与定圆 B：(x－3)2＋y2＝64 相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为________． [解析] 因为点 A 在圆 B 内，所以过点 A 的圆与圆 B 只能内切， 因为定圆圆心坐标为 B(3，0)， 所以|AB|＝6. 所以|BM|＝8－|MA|，即|MB|＋|MA|＝8＞|AB|， 所以动点 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆， 即 a＝4，c＝3.故 b2＝7.即椭圆方程为1x62＋y72＝1. [答案] 1x62＋y72＝1
求焦点 求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正、余弦定理，其中|PF1| 三角形 ＋|PF2|＝2a.平方是常用技巧 求最值 利用|PF1|＋|PF2|＝2a 为定值，利用基本不等式求|PF1|·|PF2|最值或
利用三角形求最值．如 a＋c、a－c
考点二 椭圆的标准方程及应用
挖掘 求椭圆方程的方法/ 自主练透
B．x32＋y22＝1 D.x92＋y52＝1
[解析] 由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B 的周长 为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以 a＝3.因为椭圆的离心率 e＝ac＝23，所以 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝5，所以椭圆 C 的方程为x92＋y52＝1，故选 D. [答案] D
(2)已知点 P(x，y)在椭圆3x62＋1y020＝1 上，F1，F2 是椭圆的两个焦点，若△PF1F2 的面 积为 18，则∠F1PF2 的余弦值为________． [解析] 椭圆3x62＋1y020＝1 的两个焦点为 F1(0，－8)，F2(0，8)，由椭圆的定义知|PF1| ＋|PF2|＝20， 两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202， 由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝162，
这时，P 为短轴端点；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a，这时，P 为长轴端点．
4．若点 P 是椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1、F2 是椭圆的左、右焦点，且 ∠F1PF2＝θ，则 S△PF1F2＝b2tanθ2. 5．过椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的焦点 F 作 x 轴的垂线，交椭圆于 A，B，则|AB|＝2ab2. 6．椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是 F1、F2，P(x0，y0)是椭圆上任意一点， 则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0. 7．若 P 为椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点，则 a－c≤|PF|≤a＋c.
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(3)已知椭圆 C1：x42＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率．求 椭圆 C2 的方程． [解析] 法一：(待定系数法)：由已知可设椭圆 C2 的方程为ay22＋x42＝1(a>2)，其离心
率为 23，故 a2a－4＝ 23，解得 a＝4，故椭圆 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1. 法二：(椭圆系法)：因椭圆 C2 与 C1 有相同的离心率，且焦点在 y 轴上，故设 C2：y42＋ x2＝k(k>0)，即4yk2 ＋xk2＝1.又 2 k＝2×2，故 k＝4，故 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1.
答案：B
2．(基础点：椭圆的定义)已知椭圆2x52＋1y62 ＝1 上一点 P 到椭圆一个焦点 F1 的距离为
3，则 P 到另一个焦点 F2 的距离为( )
A．2
B．3
C．5
D.7
答案：D
3．(基础点：椭圆的方程与性质)已知椭圆的一个焦点为 F(1，0)，离心率为12，则椭 圆的标准方程为________． 答案：x42＋y32＝1
[四基自测] 1．(易错点：椭圆的概念)下列说法中正确的个数是( ) ①平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件；②椭圆 的离心率越大，椭圆越接近圆；③若方程5－x2k＋k－y2 3＝1 表示椭圆，则(5－k)(k－3)
＞0；④椭圆离心率 e∈(0，1)．
A．1
B．2
C．3
D.0
第八章 平面解析几何
第五节 椭 圆
[基础梳理] 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离__之__和_____等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作 椭圆．这两个定点叫作椭圆的__焦__点_____，两焦点间的距离叫作椭圆的__焦___距____．
(2)集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. ①当 2a>|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆； ②当 2a＝|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2； ③当 2a<|F1F2|时，M 点的轨迹不存在．
两式相减得 2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144，
又 S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18，
所以 1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，
解得 cos∠F1PF2＝35.
[答案]
3 5
[破题技法] 椭圆定义应用技巧思路
应用
解读
求方程 条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程
和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
A.6x42－4y82 ＝1
B．4x82＋6y42 ＝1
C.4x82－6y42 ＝1
D.6x42＋4y82 ＝1
[解析] 设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， ∴M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为6x42＋ 4y82 ＝1.
2．椭圆的标准方程和几何性质 图形
标准方程
__xa_22_＋__by_22_＝__1__(a>b>0)
____ay_22_＋__xb_22＝__1_(a>b>0)
范围
对称性
顶点 性
质
轴
焦距 离心率 a，b，c 的关系
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴： __坐__标__轴___
[破题技法] 求椭圆标准方程的方法
方法
解读
适合题型
根据题目的条件，判断是否满足椭圆的定义，若满足，涉及两焦点的距
定义法
求出相应的 a，b，c 的值，即可求得方程
离问题
(1)如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位
置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确
待定系 定关于 a，b，c 的方程组，解出 a2，b2，从而写出 能够明确椭圆的焦
＝120°，则 C 的离心率为( )
A.23
B．12
C.13
D.14
[解析] 如图，作 PB⊥x 轴于点 B. 由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则 c＝1， 由∠F1F2P＝120°， 可得|PB|＝ 3，|BF2|＝1， 故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝||APBB||＝a＋32＝ 63， 解得 a＝4，所以 e＝ac＝14. 故选 D. [答案] D
挖掘 2 椭圆定义的应用/ 互动探究
[例 2] (1)(2020·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点
分别为 F1、F2，离心率为23，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为
12，则椭圆 C 的标准方程为( )
A.x32＋y2＝1 C.x92＋y42＝1
由点 P(2， 3)在椭圆上知a42＋b32＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即
2a＝2×2c，ac＝12，又
a42＋b32＝1， c2＝a2－b2，联立c2＝a2－b2，得
ac＝12，
a2＝8，b2＝6， 故椭圆方程为x82＋y62＝1.
又m42＋n32＝1，所以 m2＝8，n2＝6.
所以方程为x82＋y62＝1. 若焦点在 y 轴上，设方程为hy22＋xk22＝1(h＞k＞0)，
则h32＋k42＝1，且hk＝ 23，解得 h2＝235，k2＝245. 故所求方程为2y52 ＋2x52＝1.
34 [答案] x82＋y62＝1 或2y52 ＋2x52＝1
对称中心： ___原__点____
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
长轴 A1A2 的长为___2_a_____；
短轴 B1B2 的长为___2_b_____
|F1F2|＝2c
e＝ac∈__(_0_，__1_)__
[例] (1)(2020·宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)
是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
来自百度文库A.x82＋y62＝1
B．1x62 ＋y62＝1
C.x42＋y22＝1
D.x82＋y42＝1
[解析] 设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
离心率为( )
A.13
B．12
2 C. 2
22 D. 3
[解析] ∵a2＝4＋22＝8，
∴a＝2
2，∴e＝ac＝2 2
＝ 2
2 2.
故选 C.
[答案] C
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知 F1、F2 是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A
是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 63的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P
[答案] A
(2)(2020·成都模拟)与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)的椭圆方程为 ________．
[解析] 因为 e＝ac＝ a2a－b2＝ 1－ba22＝
1－34＝12，
若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为mx22＋ny22＝1(m＞n＞0)，
则 1－mn 2＝14，从而mn 2＝34，mn ＝ 23.
数法 椭圆的标准方程；
点位置
(2)当焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可以设
椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m≠n>0)
椭圆系 根据共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其他条 具有某共同特征的
法 件确定方程.
椭圆求标准方程
考点三 椭圆的几何性质
挖掘 1 求离心率(范围)/ 自主练透 [例 1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆 C：xa22＋y42＝1 的一个焦点为(2，0)，则 C 的
4．(易错点：椭圆方程的特征)已知椭圆mx－2 2＋10－y2 m＝1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4， 则 m 等于________． 答案：8
考点一 椭圆的定义及应用
挖掘 1 利用椭圆定义求方程/ 自主练透
[例 1] (1)已知圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，圆 C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1 内部且
(3)设椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A、B 关于原点对
称，且满足F→A·F→B＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆 C 的离心率的取值范围是( )
A.
22，
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C. 22， 3－1
B． 35，1 D.[ 3－1，1)
[解析] 设椭圆左焦点为 F′，连接 AF′、BF′.由椭圆的对称性可知，四边形 AFBF′ 为平行四边形，又F→A·F→B＝0，即 FA⊥FB，故平行四边形 AFBF′为矩形，所以|AB| ＝|FF′|＝2c. 设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在直角三角形 AF′F 中，m＋n＝2a， m2＋n2＝4c2，① 得 mn＝2b2，②