变换-试探函数法及其在非线性演化方程中的应用

多求解 非线 性 方程 的方 法，如齐 次平 衡法 『引 １ 、双 曲正 切 函数 展 开法 ｌ、试探 函数法 ［５ ｉｅＣ ｓ ｅ ６、 ’ 引 】 ｎ — ｏ ｉ 法『 ．、Ｓ ｎ ｌ Ｊｃ ｂ椭 圆 函数展 开法 Ｌ 、叠 加法 、辅 助常 微分 方程 法 Ｉ ａｏ ｉ ７ Ｊ Ｊ 】 等．这些 方 法适用 范 围各 有 限制，运用 不 同的 方法 得到 的解 的 丰 富程度 也 不 同． 所 以，非线 性 方 程至 今还 没 有一 般 的解 法 ，只能 根据 方 程 的某 些特 点，
Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ－ｒ ａ ａ ｓ ｏ ｍ ｔｏ ｔ ｉ ｌＦｕｎｃ ｉ ｎ Ｍ ｅ ｈｏ ｎｄ Ｉ ｓＡｐｐｌｃ ｔｏ ｔｏ ｔ ｄ ａ ｔ ｉ ａ ｉ ｎｓ ｔ ｏ Ｎｏｎ ｉ ａ ｌｎｅ ｒＥｖｏ ｕ ｉ ｎ Ｅｑｕａ ｉ ｎｓ ｌ ｔｏ ｔｏ
Ｘ Ｉ Ｙｕ ｎ． ｉ Ｅ ａ ｘ
线性 演化 方程 ．
关 键 词 ：变换 ． 探 函数 法；非 线 性 演 化 方程 ：精 确 解 试 中 图分 类 号 ： ７ ． ； ４ １１ Ｏ１５２ Ｏ １． ９ 文献标识码： Ａ 文 章编 号 ： ６ ２５ ９ （０ １０ －０ １ ７ １７ ．２ ８２ １）１０ ２ — ０
（ ｏｌ ｅ ｆ ｈ ｓ ｓ ｎ ｌｃ ｏ ｉｓ Ｈ ｎ ｎＩ ｓ ｔｔ ｏ ｉ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｙ ｅ ａ ｇ４ ０ ， ｈｎ ） Ｃ ｌ ｇ ｙ ｉ ｄＥ ｅ ｔ ｎｃ， ｕ ａ ｔｕｅ ｆ ｃｅ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ ， ｕ ｙ ｎ ０ ６ Ｃ ｉａ ｅ ｏＰ ｃａ ｒ ｎ ｉ Ｓ ｎ １ ４
并用 来求 解更 多 的非线 性演 化方 程．
１ 方 法 简述
考虑 下列非 线性 演化 方程
， ，
罢 ，， ， … Biblioteka Baidu ．
为 了求 解上述 方程 ，引人 变换
收 稿 日期： ０ ０ １ ． １ ２ １－１ ２
Ｖ Ｉ ４Ｎｏ １ ． ． ２
Ｍ ａ ０１ Ｌ２ １
变换 一 探 函数 法 及 其在 非 线 性 演化 方 程 中的应 用 试
谢 元 喜
（ 湖南理工学院 物理与 电子学院，湖南 岳 阳 ４ ４ ０ ） １０ ６
摘 要 ：对 变换 ． 试探 函数 法进 行 了改 进 ，并 用该 法 求得 了几 个 非 线性 演化 方程 的精 确 解 ． 方 法也 可 用 于 求解 其 它非 本
第２ ４卷 第 １ 期
２ １ 年 ３月 ０１
湖南理ｌ学院学报（ Ｉ 自然科学版）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｎ ｎ ｎｔ ｕｅ ｆ ｃ ｎ ｅ ｎ ｅｈ ｏ ｇ ｔ ｌ ｃ ｎ ｅ） ｏ ｒ ａ ｏ Ｈｕ ａ ｓｉ ｔ ｏ Ｓ ｉ ｃ ｄＴ ｃ ｎ ｌ ｙｎ ａ ｎ ｉ ｃ ｓ Ｉ ｔ ｅ ａ ｏ Ｌ Ｓｅ
引言
科 学技 术和 经济 建设 的迅 速发 展 ， 进 了非线 性科 学 的发展 ．目前 ，物理 学 、化学 、生物 学及 通讯 工 促 程 等许 多领域 中的非 线性 现 象 最终 都 可 以通过 非 线性 方程 这 一数 学 模 型来 进行 简单 而精 确 的描述 ，非 线 性 方程 已成 为研究 各类 问题 的关 键 ． 今，已建立 了许 多这类 数 学模 型，￣Ｋｄ 如 Ｈ Ｖ方程 、 ｄ 方 程 、 ｕｇｒ ｍＫ Ｖ Ｂ ｒｅｓ
采 取特 殊 的手段来 尽 可能揭 示 出体 系的某 些 重要性 态 ． 作 为一种 有 益 的探 索 和尝试 ，我们 在 文［２中基于 Ｈｏｆ ｏｅ变换法 和试 探 函数 法 的基本 思想 提 出了 １】 ｐ－ ｌ Ｃ
一
种求 一类非 线性 演化 方 程精确 解 的变换 一 试探 函数 法．在本 文 中， 们将 其 中的 变换取 为 更一般 的形 式， 我
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ａ ｓ ｏ ｍａ ｉ ｎ ｔ ａ ｕ ｃ ｉ ｎ ｍｅ ｈ ｄ ｉ ｓ ｒ ｃ ： ｅ ｔ ｎ ｆ ｒ ｔ ・ ｉ ｌ ｎ ｔ ｔ ｏ ｓｉ ｒ ｖ ｄ ｔ ｏ ｓｒ ｃ ｅ ｅ ａ ｔｓ ｌｔ ｎ ｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｅ ｏ ｕ ｉ ｎ ｒ ｏ ｒ ｆ ｏ ｍｐ ｏ ｅ ｏ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｈ ｘ ｃ ｏ ｕ ｉ ｓｔ ａ ｆｗ ｏ ｌ ａ ｖ ｌｔｏ ｔ ｏ ｏ ｎ ｅ ｕ ｔ ｎ ｆ ｈ ｓｃ ｌ ｎ ｅ ｅ ｔ Ｔｈ ｔ ｏ ｓ ｄ ｈ ｒ ｉ ａ ｅａ ｐ ｉｄ ｔ ｏ ｖ ｔ ｅ ｏ ｌ ｅ ｒｅ ｏ ｕ ｉ ｎｅ ｕ ｔ ｎ ｔ ｅ ｔ ａ ｑ ａ ｉ ｓ ｙ ｉ ａ ｔｒ ｓ ． ｅ ｍｅｈ ｄ ｕ ｅ ｅ ｅｎ ｃ ｎ ｂ ｐ ｌ ｏ ｓ ｌ ｅｏ ｈ ｒ ｎ ｉ ａ ｖ ｌ ｔ ｑ ａ ｉ ｓ ｉ ｍａｈ ｍａ ｉ ｌ ｏ ｏ ｐ ｉ ｅ ｎ ｎ ｏ ｏ ｎ ｃ ｐ ｙ ｉｓ ｈ ｓｃ ． Ｋｅ ｒ ｓ ｔａ ｓ ｏ ａ ｉ ｎ ｔｉｌ ｕ ｃ ｉｎ ｍｅ ｈ ｄ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｖ ｌ ｔ ｎｅ ｕ ｔ ｎ ｅ ａ ｔ ｏ ｕ ｉ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｒ ｎ ｆ ｒ ｔ —ｒ ｎ ｔ ｔ ｏ ； ｏ ｌ ａ ｏ ｕ ｉ ｑ ａ ｉ ； ｘ ｃ ｌｔｏ ｍ ｏ ａｆ ｏ ｎ ｅ ｏ ｏ ｓ
方程 、 Ｎ 方程 、 ｏｓｉ ｓ方程等等．这些方程都是从实际生活中抽象出来描述不同体系的各种现象的 Ｎ Ｖ Ｂ ｕｓ ｅ ｎｑ
数学 物理 模型 ，每个 方程 的解 可能代 表 着不 同的 现实 意义 ．因而 ， 求非 线性 方程 的精 确解 对研 究各 领域 寻 中的非 线性 现象 起着 重大 的作用 ．长 期 以来 ， 成 为物理 学 家和 数学 家研 究 的重 大课 题 ，并且 已提 出了许 它