非线性控制系统.
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非线性控制系统
硕士研究生课程 2008年2月
参考书目：
《非线性系统》（第三版），Hassan K. Khalil ，电子工业出版社
《非线性控制系统理论与应用》，胡跃明 编 著，国防工业出版社 《非线性系统的分析与控制》，洪奕光 程代 展 著，科学出版社 《非线性理论数学基础》，姚妙新 陈芳启主 编，天津大学出版社
f1 (t , x, u) f (t , x, u) f (t , x, u) 2 f n (t , x, u)
f (t , x, u) x
f (t , x, u) x y h(t , x, u)
无激励状态方程：
状态方程 输出方程
状态空间模型
f (t , x) x
非自治系统 / 时变系统
自治系统 / 时不变系统：
f ( x) x
如果系统不是自治的，就称为非自治系统或时变系统。
2。平衡点
对于状态空间中的点x*只要状态从点x*开始，在将来的任何时 刻都将保持在点x*不变，那么这点称为系统的平衡点。
自治系统的平衡点：
假设参考点位于g(0)=0处 2。回复力分析： 位移较小时： 位移较大时： 弹性系数
Fsp g ( y)
g ( y) ky
ay 1
软化弹簧 硬化弹簧
g( y) k (1 a2 y2 ) y,
g ( y) k (1 a2 y 2 ) y
3。摩擦阻力分析：
阻力Ff包括： 静摩擦力Fs 库仑摩擦力Fc 粘滞摩擦力Fv
隧道二极管电路
0 h( x1 ) x2 0 x1 Rx2 u
h( x1 ) E 1 x1 的根为系统的平衡点 R R
1.2.3 质量-弹簧系统
1。运动方程：
Ff Fsp F my
Ff
为摩擦阻力
Fsp 为弹簧的回复力，只是位移y的函数g(y)
输入力矩
1.2.2 隧道二极管电路
通过结点c的电流代数和为零：iC 电压定律：wk.baidu.com
iR iL 0
vC E RiL vL 0
取状态变量： x1
vC , x2 iL , u E
iC h( x1 ) x2 vL x1 Rx2 u
1 h( x1 ) x2 C 1 2 x1 Rx2 u x L 1 x
也不是周期振荡或殆周期振荡，这种特性通常称为混沌。
•特性的多模式：同一非线性系统显示出两种或多种模式。无激励
系统可能有不止一个极限环。具有周期激励的系统可能会显示倍频、 分频或更复杂的稳态特性，这取决于输入信号的幅度和频率。甚至 当激励幅度和频率平滑变化时，也会显示出不连续的跳跃性能模式。
1.2 示例
Ff Fsp F my
运动方程
对于硬化弹簧，考虑线性粘滞摩擦力和一个周期外力 F=Acosωt，可以得到Duffing方程：
cy ky ka2 y3 A cos t my
这是研究具有周期激励的非线性系统的经典例子。
5。线性弹簧的例子 ：
对于线性弹簧，考虑静态摩擦力、库仑摩擦力和线性粘滞 摩擦力，且当外力F=0时可得到：
2 f 2 (t , x1 , , xn , u1 , , u p ) x n f n (t , x1 , , xn , u1 , , u p ) x
时间变量 状态变量 输入变量
x1 x x 2 xn
u1 u 2 u u p
(n , 0), n 0, 1, 2,
(0,0)和( ,0)
单摆可以停留在平衡点（0，0）上， 几乎不可能停留在平衡点（π，0）上。
3。无摩擦单摆方程
设k=0：
1 x2 x 2 x g sin x1 l
4。有控制输入的单摆方程
1 x2 x 2 x g k 1 sin x1 x2 2 T l m ml
•极限环：在现实生活中，只有非线性系统才能产生稳定振荡，有些
非线性系统可以产生频率和幅度都固定的振荡，而与初始状态无关， 这类振荡就是一个极限环。
•分频振荡、倍频振荡或殆周期振荡：非线性系统在周期信号激
励下，可以产生具有输入信号频率的分频或倍频振荡，甚至可以产 生殆周期振荡。
•混沌：非线性系统的稳态特性可能更为复杂，它既不是平衡点，
1.2.1 单摆方程
1。单摆方程
摆锤沿切线方向的运动方程： （k为摩擦系数）
mg sin kl ml
取状态变量：
x1 , x2
1 x2 x 2 x g k sin x1 x2 l m
状态方程为：
单摆方程
2。单摆的平衡点
解方程得平衡点： 实际平衡点：
a。静摩擦力： 静摩擦系数
Fs s mg,
b。库仑摩擦力：
0 s 1
k mg , 当v 0 Fc k mg , 当v 0
v y
c。粘滞摩擦力：
Fv h(v), h(0) 0
当速度较小时：
Fv cv, v y
4。硬化弹簧的Duffing方程 ：
第一部分 基本分析 第1章至第4
第二部分 反馈系统分析 第5章至第7章
第三部分 现代分析 第8章至第11章
第四部分 非线性反馈控制 第12章至第14章
第一章 绪论
1.1 非线性模型和非线性现象 1。状态空间模型的几个基本概念
一阶常微分方程组： 1 f1 (t , x1 , , xn , u1 , , u p ) x
f (x) 0
平衡点可以是孤立的，也可能有一个平衡点的连续统。
3。本质非线性现象：
•有限逃逸时间：非稳定线性系统的状态只有当时间趋于无穷时才会
达到无穷，而非线性系统的状态可以在有限时间内达到无穷
•多孤立平衡点：线性系统只有一个孤立的平衡点，而非线性系统
可以有多个孤立平衡点，其状态可能收敛于几个稳态工作点之一， 收敛于哪个工作点取决于系统的初始状态。
硕士研究生课程 2008年2月
参考书目：
《非线性系统》（第三版），Hassan K. Khalil ，电子工业出版社
《非线性控制系统理论与应用》，胡跃明 编 著，国防工业出版社 《非线性系统的分析与控制》，洪奕光 程代 展 著，科学出版社 《非线性理论数学基础》，姚妙新 陈芳启主 编，天津大学出版社
f1 (t , x, u) f (t , x, u) f (t , x, u) 2 f n (t , x, u)
f (t , x, u) x
f (t , x, u) x y h(t , x, u)
无激励状态方程：
状态方程 输出方程
状态空间模型
f (t , x) x
非自治系统 / 时变系统
自治系统 / 时不变系统：
f ( x) x
如果系统不是自治的，就称为非自治系统或时变系统。
2。平衡点
对于状态空间中的点x*只要状态从点x*开始，在将来的任何时 刻都将保持在点x*不变，那么这点称为系统的平衡点。
自治系统的平衡点：
假设参考点位于g(0)=0处 2。回复力分析： 位移较小时： 位移较大时： 弹性系数
Fsp g ( y)
g ( y) ky
ay 1
软化弹簧 硬化弹簧
g( y) k (1 a2 y2 ) y,
g ( y) k (1 a2 y 2 ) y
3。摩擦阻力分析：
阻力Ff包括： 静摩擦力Fs 库仑摩擦力Fc 粘滞摩擦力Fv
隧道二极管电路
0 h( x1 ) x2 0 x1 Rx2 u
h( x1 ) E 1 x1 的根为系统的平衡点 R R
1.2.3 质量-弹簧系统
1。运动方程：
Ff Fsp F my
Ff
为摩擦阻力
Fsp 为弹簧的回复力，只是位移y的函数g(y)
输入力矩
1.2.2 隧道二极管电路
通过结点c的电流代数和为零：iC 电压定律：wk.baidu.com
iR iL 0
vC E RiL vL 0
取状态变量： x1
vC , x2 iL , u E
iC h( x1 ) x2 vL x1 Rx2 u
1 h( x1 ) x2 C 1 2 x1 Rx2 u x L 1 x
也不是周期振荡或殆周期振荡，这种特性通常称为混沌。
•特性的多模式：同一非线性系统显示出两种或多种模式。无激励
系统可能有不止一个极限环。具有周期激励的系统可能会显示倍频、 分频或更复杂的稳态特性，这取决于输入信号的幅度和频率。甚至 当激励幅度和频率平滑变化时，也会显示出不连续的跳跃性能模式。
1.2 示例
Ff Fsp F my
运动方程
对于硬化弹簧，考虑线性粘滞摩擦力和一个周期外力 F=Acosωt，可以得到Duffing方程：
cy ky ka2 y3 A cos t my
这是研究具有周期激励的非线性系统的经典例子。
5。线性弹簧的例子 ：
对于线性弹簧，考虑静态摩擦力、库仑摩擦力和线性粘滞 摩擦力，且当外力F=0时可得到：
2 f 2 (t , x1 , , xn , u1 , , u p ) x n f n (t , x1 , , xn , u1 , , u p ) x
时间变量 状态变量 输入变量
x1 x x 2 xn
u1 u 2 u u p
(n , 0), n 0, 1, 2,
(0,0)和( ,0)
单摆可以停留在平衡点（0，0）上， 几乎不可能停留在平衡点（π，0）上。
3。无摩擦单摆方程
设k=0：
1 x2 x 2 x g sin x1 l
4。有控制输入的单摆方程
1 x2 x 2 x g k 1 sin x1 x2 2 T l m ml
•极限环：在现实生活中，只有非线性系统才能产生稳定振荡，有些
非线性系统可以产生频率和幅度都固定的振荡，而与初始状态无关， 这类振荡就是一个极限环。
•分频振荡、倍频振荡或殆周期振荡：非线性系统在周期信号激
励下，可以产生具有输入信号频率的分频或倍频振荡，甚至可以产 生殆周期振荡。
•混沌：非线性系统的稳态特性可能更为复杂，它既不是平衡点，
1.2.1 单摆方程
1。单摆方程
摆锤沿切线方向的运动方程： （k为摩擦系数）
mg sin kl ml
取状态变量：
x1 , x2
1 x2 x 2 x g k sin x1 x2 l m
状态方程为：
单摆方程
2。单摆的平衡点
解方程得平衡点： 实际平衡点：
a。静摩擦力： 静摩擦系数
Fs s mg,
b。库仑摩擦力：
0 s 1
k mg , 当v 0 Fc k mg , 当v 0
v y
c。粘滞摩擦力：
Fv h(v), h(0) 0
当速度较小时：
Fv cv, v y
4。硬化弹簧的Duffing方程 ：
第一部分 基本分析 第1章至第4
第二部分 反馈系统分析 第5章至第7章
第三部分 现代分析 第8章至第11章
第四部分 非线性反馈控制 第12章至第14章
第一章 绪论
1.1 非线性模型和非线性现象 1。状态空间模型的几个基本概念
一阶常微分方程组： 1 f1 (t , x1 , , xn , u1 , , u p ) x
f (x) 0
平衡点可以是孤立的，也可能有一个平衡点的连续统。
3。本质非线性现象：
•有限逃逸时间：非稳定线性系统的状态只有当时间趋于无穷时才会
达到无穷，而非线性系统的状态可以在有限时间内达到无穷
•多孤立平衡点：线性系统只有一个孤立的平衡点，而非线性系统
可以有多个孤立平衡点，其状态可能收敛于几个稳态工作点之一， 收敛于哪个工作点取决于系统的初始状态。