第三章线性规划的典型应用讲解

4 2
7
5
9
a3=19 3 10
6
14+27+19= 22+13+12+13
需求地 1 b1=22
2 b2=13
需
求
量
3 b3=12
4 b4=13
供需平衡问题
运输问题的一般描述
设某种物资有 m 个产地 A1，A2， Am 产量分别为
a1, a 2,a m
，有
n
个销地
B1,
B
,
2
, Bn ,销量分别为
线性规划的典型应用
内容
生产组织与计划问题 运输问题 指派问题 下料问题
生产组织与计划问题
例题
某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生
素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及
该厂每周可提供的资源总量如下表所示：
维生素（公斤） 设备（台班）
每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
i 1
j 1
C x C x C x min Z
...
11 11
12 12
mn mn
供
x x x a
11
＋
12
＝
1n
１
应
.......................................
地
x x x a
m1
...
m2
mn
m
约 束
x x x b s.t.
11
...
21
产需平横——
m
ai
n
bj
i 1
j 1
C x C x C x min Z
...
11 11
12 12
mn mn
x x x a
11
＋
12
＝
1n
１
供 应
.......................................
地
x x x a
m1
...
m2
Baidu Nhomakorabea
mn
m
x x x b s.t.
一般描述
B B B B 设用 A1, A2,..., Am 种原料，生产
,
1
, ...
2
种产品，其中
n
j
A A A a a a 种产品每单位需要
,
1
,...
2
原料分别为
m
,
1j
...,
2j
；而该
mj
厂现有原料的数量分别为
b1,
b
,
2
...,
b
;
m
B
,
1
B
,...,
2
B
n
各种产品每
C C C 单位可是利润分别为
5
1
每周资源总量
160 15
已知该厂生产每吨甲、乙药品的利 润分别为5万元和2万元。但根据市 场需求调查的结果，甲药品每周的 产量不应超过4吨。问该厂应如何安 排两种药品的产量才能使每周获得 的利润最大？
maxZ=5x1 +2x 2
30x1 20x2 160 s.t.5xx1 14x2 15
x1 0, x2 0
11
...
21
m1
1
x x x b
12
...
22
m2
2
约 束
需 求
......................................
地 约
x x x b ...
1n
2n
mn
n
束
x
0(i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
ij
m
n
供不应求—— ai bj
,..., 。在该厂产品全部能销售情
1, 2
n
况下，应如何组织生产，才能使该企业获得最大？
数学模型
max Z C x1 1 C x2 2 ... C xn n
a x a x a x b
...
11 1
12 2
1n n
1
a x a x a x b s.t.....2.1....1.........2.2....2..................2.n.....n... 2
a x a x a x b
m1
1
...
m2 2
mn n
m
x
j
0(
j
1,...,
n)
求解方法
理论上的一般求解方法： • 二变量：图解法 • 三变量以上：单纯形法
使用软件： Matlab、lingo（lindo）
运输问题
运输问题网络图
供应地
运价
6
a1=14 1 7
5
3
供
8
应 量
a2=27 2
12
...
22
m2
2
......................................
需 求 地 约
x x x b ...
1n
2n
mn
n
束
x
0(i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
ij
转运问题及图示
所谓转运问题(Transhipment Problem)实质上是运输问 题的一种，其区别就在于不是将工厂生产出的产品直接 送的顾客手中，而是要经过某些中间环节，如仓库、配 送中心等.图7-2表示的（即有一个中间环节）的转运问 题.
C x C x C x min Z
...
11 11
12 12
mn mn
供
x x x a
11
＋
12
1n
１
.......................................
应 地
x x x a
m1
...
m2
mn
m
约 束
x x x b
s.t.
11
...
21
m1
1
x x x b
稀疏矩阵，因此可以考虑更好的算法； ➢ 一般方法：表上作业法； ➢ 大体步骤：
)
,
i1
k 1
j 1, 2, ,l, (运入量应等于运出量)
l
x(2) jk
bk ,
j1
k 1, 2, n, (运入量应等于需求量)
x(1) ij
0,
x(2) jk
0,
i 1, 2,
m, j 1, 2,
,l, k 1, 2,
n.
运输问题的求解
➢ 模型也是线性规划模型，可用单纯形法； ➢ 模型的系数矩阵是矩阵维数较大、涉及变量较多，系数矩阵是
b1,b2,，b3(吨)。如果由产地 Ai 运往销地 B j 的单位
运价为C ij （元/吨），在产销平衡的情况下，应
如何调运才能使运费最省？
解 ： 设 xij 表 示 由 产 地 Ai 运 往 销 地 B j 的 数 是
(i=1,……，m；j=1,2,……，n)。则该问题数学模
型为：求变量 xij 的一组值，使它们满足
数学模型
x(1) ij
x(2) jk
c(1) ij
c(2) ij
ml
ln
min Z=
c x (1) (1) ij ij
c(2) jk
x(2) jk
;
i1 j1
j1 k 1
l
x(1) ij
ai ,
i 1, 2, m, (运出量应不大于生产量)
j1
s.t.
m
x(1) ij
n
x
(2 jk
m1
1
x x x b
12
...
22
m2
2
......................................
需 求 地 约
x x x b ...
1n
2n
mn
n
束
x
0(i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
ij
供过于求——
m
ai
n
bj
i 1
j 1