课本中一道例题引发的探究性学习案例——圆的相交弦定理在圆锥曲线中的延伸与拓展
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第３ ２卷第 ３期
２ ０ １ ３ 年３ 月
数学教学研究
２ ３
课本 中一 道例 题 引发 的探 究 性学 习案 例
— —
圆的相交弦 定理在圆锥 曲线中 的延伸与拓展
郭建军
（ 甘肃省 陇西县第二 中学 ７ ４ ８ １ ０ ０ ）
在初三我们学过 圆的相交 弦定理 ： 圆的 两 条相交 弦 ， 被交 点分 成 的两 条 线段 长 的乘 积 相等 ． 即： 若圆 ０内的两条相交弦Ａ Ｂ， Ｃ Ｄ相交于 点 Ｐ， 则Ｉ Ｐ Ａ１ ． １ Ｐ ＢＩ —Ｉ Ｐ Ｃ１ ．Ｉ Ｐ ＤＩ ． 在人 教版 的选修 ４ － ４中有这样 一道 例题 （ 课本第 ３ ８ 页例 ４ ） ： 如图 １ 所示 ， Ａ Ｂ， Ｃ Ｄ是 中心为点 Ｏ 的 椭圆的两条相交弦， 交点为 Ｐ ， 两弦 Ａ Ｂ。 Ｃ Ｄ 与椭圆长轴的夹角分别为 １ ， ２ ， 且 １ ＝ ２ ． 求证 ： Ｉ Ｐ Ａ１ ．Ｉ Ｐ Ｂｌ ＝Ｉ Ｐ Ｃ １ ．１ Ｐ ＤＩ ．
（ ２ ）
（ ３ ）
＋２ （ ｂ Ｘｏ ｃ ｏ ｓ 一ｎ ｓ ｉ ｎ Ｏ ） ｔ
将（ ２ ） 带人（ １ ） 并整理 ， 得到
（ ３ ）
ｔ ２ ｓ ｉ ｎ Ｏ －２ （ ｐｃ ｏ ｓ口 一 ｓ ｉ ｎ Ｏ ） ｔ ＋（ 一２ 勘） 一Ｏ ．
Ｉ ｂ ２ 鲎 ± 些 ：
Ｃ Ｏ Ｓ 。 （ 一 ） ＋ｎ ０ ｓ ｉ ｎ 。 （ ７ ｃ 一 ） ｆ
（ ４ ）
同理 ， 对 于直线 Ｃ Ｄ， 将 换 为 矿… ， 即得 到
Ｉ Ｐ Ｃｌ ・ｌ Ｐ ＤＩ
：
一 ｌ
＝
｝ ｊ ｂ ｚ Ｃ Ｏ Ｓ ａ 。 ＋ ｓ ｉ ｎ ０ Ｉ ．
ＰＤห้องสมุดไป่ตู้ｌ 。
设 １ ＝０ ， 点 Ｐ 的坐标 为（ ． Ｔ Ｏ ， ｙ ｏ ） ， 则直 线Ａ Ｂ的参数方程为
证明 设双曲线的方程为
ｆ ‘ Ｉ Ｘ ￣ － － Ｘ Ｏ ． Ａ ［ － 把 ∞ ’ （ ｌ ￡ ， 为 一 Ｉ 参 ｊ ； 墨 ； 数 Ｖ ） ， Ｙ＝ Ｙ ｏ ＋ｔ ｓ ｉ ｎ
㈣
。 ■
ｏ ａｆ
‘
、 —
～
由（ ４ ） ， （ ５ ） ， 得到
｝
ｌ
ｌ Ｐ Ａ｝ ｌ ． １ Ｐ Ｂｉ ＝ ＝ ： ｌ Ｐ Ｃ ｉ ・ ｆ Ｐ Ｄｌ 。
验 证后 发现结 论 对椭 圆成立 ． 追问 ： 结 论
ｒ
Ｉ 奎 ｌ １
圈 ２
对双曲线、 抛物线是否成立呢？于是， 笔者又 对 此经 行 了 一番探 究 拓展 ｌ 已知 Ａ Ｂ ， Ｃ Ｄ是中心为点 《 ． ） 的 双 曲线 的两条 相交弦， 交点为 Ｐ， 两弦 Ａ ８
（ 上接 第 ２ ３页）
答题 技 巧 是 解 题 过 程 中 不 可或 缺 的成 分， 但富于技巧， 可能诱使学生淡化实质 ， 对 本 质与核 心 的思 想方 法 把 握不 到 位 ， 影 响教 学 效果． 如果 碍于 大 众理 解 ， 才会 赢 得支 持 ， 赢 得成功 ． 所 以， 无论 在课堂教 学还是 在试题 答 案 中提供 最 朴 素最 自然 的解 答 ， 才是 符 合
新课程要求的．
（ 收稿 日期 ： ２ ｏ １ ２ — １ １ — ０ ５ ）
将（ ２ ） 带人（ １ ） 并 整理 ， 得到
（ ６ 。 Ｃ Ｏ Ｓ 一口 ｓ ｉ ｎ 。 Ｏ ） ｔ
｛ ｚ 一 － － ￣ ， ｔ ｃ ｏ ． ｓ ０ ’ （ ￡ 为 参 数 ）
Ｉ Ｙ— ｙｏ 下 ｔ ｓ ｌ ｎ
＝
．
㈣
（ 为参数） （ ２ ）
设 １ ＝０ ， 点 Ｐ的坐标为 （ Ｘ ｏ ， Ｙ ｏ ＞ ， 则直
＋ｔ ｃｏｓ ０ ’
ｚ ＇ ｏ
【 ３ ， 一
（ ３ ）
＋ｔ ｓｉ ｎ
￣ － （ ｔ ２ ＋盘 ～
） ＝ ＝ ： Ｏ ．
（ 下转 第 ５ ６页）
５ ６
证明 如图 ２建立平 面直角坐标 系， 设 椭 圆 的长轴 、 短 轴 的 长分 别 为 ２ ｎ ， ２ ６ ， 则 椭 圆
的方程 为
Ｃ Ｄ与双曲线实轴的夹角分别为 １ ， ２ ， 鼠
《＋ 蔷 ｂ 一 １ ．
ａ
（ １ ）
１ ＝ ２ ， 求、 证： ｉ Ｐ Ａ ｌ ・ｌ Ｐ Ｂ ｌ ＝ ： ： ｌ Ｐ Ｃｉ ・｝
５ 反 思
数学教学研究
第３ ２ 卷第 ３期
２ ０ １ ３ 年 ３月
使 在熟悉 的情 景 中完 成解答 ．
本题综合运用分类讨论思想 ， 利用导数 求函数的单调性、 反三角函数 、 构造法、 数形 结合等相关 知 识解 决 问题 ， 要 求 学生 能 够 从 整体上把 握 函数 知识 ， 沟通 函数 与其 它 知识 间的联 系 ， 并加 以融合 ． 在平 时 的教 学 中， 对 于每一个 问题 ， 我 们应 该努力 去认识 其背 景 、 实质 ， 以及它所包 含 的知识 、 技能、 思想方 法 ， 并将其融予一体 ， 根据学生 的认识特点和规 律， 灵活的将常规方法与题 目之间有效转化，
由于 娌 Ｃ Ｏ Ｓ ＋ｂ 。 ｓ ｉ ｎ 。 ≠０ ， 因此 方 程 （ ３ ） 有 两个 根 ． 设这两个根分别为 ｔ 。 ｔ ¨ 容易 得
到
ｉ ＰＡｉ ・Ｉ ＰＢ； Ｉ ｌ ｌ ・ｉ ｔ ２ Ｉ —Ｉ ｔ ｌ ｔ ２ ｊ
＝
ｉ 监 ｂ ２ Ｃ Ｏ Ｓ ０ ０ ｓ ＋ ｎ ｉ ｎ ０ １ ｆ ． ‘
将（ ２ ） 代人（ １ ） 并整理 ， 得到
（ ｂ ２ ｃ ｏ ｓ Ｏ ＋ａ 。 ｓ ｉ ｎ ２ Ｏ ） ｔ ＋２ （ ｂ 。 ． Ｔ ｏ Ｃ Ｏ Ｓ ＋ｎ 。 ｙ ｏ ｓ ｉ ｎ Ｏ ） ｔ
一
（ ‘ ２ ） ｌ
蒡 一 ＝ ＝ ： ．
线Ａ Ｂ的参数方程为
ｘ
２ ０ １ ３ 年３ 月
数学教学研究
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课本 中一 道例 题 引发 的探 究 性学 习案 例
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圆的相交弦 定理在圆锥 曲线中 的延伸与拓展
郭建军
（ 甘肃省 陇西县第二 中学 ７ ４ ８ １ ０ ０ ）
在初三我们学过 圆的相交 弦定理 ： 圆的 两 条相交 弦 ， 被交 点分 成 的两 条 线段 长 的乘 积 相等 ． 即： 若圆 ０内的两条相交弦Ａ Ｂ， Ｃ Ｄ相交于 点 Ｐ， 则Ｉ Ｐ Ａ１ ． １ Ｐ ＢＩ —Ｉ Ｐ Ｃ１ ．Ｉ Ｐ ＤＩ ． 在人 教版 的选修 ４ － ４中有这样 一道 例题 （ 课本第 ３ ８ 页例 ４ ） ： 如图 １ 所示 ， Ａ Ｂ， Ｃ Ｄ是 中心为点 Ｏ 的 椭圆的两条相交弦， 交点为 Ｐ ， 两弦 Ａ Ｂ。 Ｃ Ｄ 与椭圆长轴的夹角分别为 １ ， ２ ， 且 １ ＝ ２ ． 求证 ： Ｉ Ｐ Ａ１ ．Ｉ Ｐ Ｂｌ ＝Ｉ Ｐ Ｃ １ ．１ Ｐ ＤＩ ．
（ ２ ）
（ ３ ）
＋２ （ ｂ Ｘｏ ｃ ｏ ｓ 一ｎ ｓ ｉ ｎ Ｏ ） ｔ
将（ ２ ） 带人（ １ ） 并整理 ， 得到
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同理 ， 对 于直线 Ｃ Ｄ， 将 换 为 矿… ， 即得 到
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ＰＤห้องสมุดไป่ตู้ｌ 。
设 １ ＝０ ， 点 Ｐ 的坐标 为（ ． Ｔ Ｏ ， ｙ ｏ ） ， 则直 线Ａ Ｂ的参数方程为
证明 设双曲线的方程为
ｆ ‘ Ｉ Ｘ ￣ － － Ｘ Ｏ ． Ａ ［ － 把 ∞ ’ （ ｌ ￡ ， 为 一 Ｉ 参 ｊ ； 墨 ； 数 Ｖ ） ， Ｙ＝ Ｙ ｏ ＋ｔ ｓ ｉ ｎ
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圈 ２
对双曲线、 抛物线是否成立呢？于是， 笔者又 对 此经 行 了 一番探 究 拓展 ｌ 已知 Ａ Ｂ ， Ｃ Ｄ是中心为点 《 ． ） 的 双 曲线 的两条 相交弦， 交点为 Ｐ， 两弦 Ａ ８
（ 上接 第 ２ ３页）
答题 技 巧 是 解 题 过 程 中 不 可或 缺 的成 分， 但富于技巧， 可能诱使学生淡化实质 ， 对 本 质与核 心 的思 想方 法 把 握不 到 位 ， 影 响教 学 效果． 如果 碍于 大 众理 解 ， 才会 赢 得支 持 ， 赢 得成功 ． 所 以， 无论 在课堂教 学还是 在试题 答 案 中提供 最 朴 素最 自然 的解 答 ， 才是 符 合
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（ 收稿 日期 ： ２ ｏ １ ２ — １ １ — ０ ５ ）
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（ 为参数） （ ２ ）
设 １ ＝０ ， 点 Ｐ的坐标为 （ Ｘ ｏ ， Ｙ ｏ ＞ ， 则直
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【 ３ ， 一
（ ３ ）
＋ｔ ｓｉ ｎ
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（ 下转 第 ５ ６页）
５ ６
证明 如图 ２建立平 面直角坐标 系， 设 椭 圆 的长轴 、 短 轴 的 长分 别 为 ２ ｎ ， ２ ６ ， 则 椭 圆
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Ｃ Ｄ与双曲线实轴的夹角分别为 １ ， ２ ， 鼠
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（ １ ）
１ ＝ ２ ， 求、 证： ｉ Ｐ Ａ ｌ ・ｌ Ｐ Ｂ ｌ ＝ ： ： ｌ Ｐ Ｃｉ ・｝
５ 反 思
数学教学研究
第３ ２ 卷第 ３期
２ ０ １ ３ 年 ３月
使 在熟悉 的情 景 中完 成解答 ．
本题综合运用分类讨论思想 ， 利用导数 求函数的单调性、 反三角函数 、 构造法、 数形 结合等相关 知 识解 决 问题 ， 要 求 学生 能 够 从 整体上把 握 函数 知识 ， 沟通 函数 与其 它 知识 间的联 系 ， 并加 以融合 ． 在平 时 的教 学 中， 对 于每一个 问题 ， 我 们应 该努力 去认识 其背 景 、 实质 ， 以及它所包 含 的知识 、 技能、 思想方 法 ， 并将其融予一体 ， 根据学生 的认识特点和规 律， 灵活的将常规方法与题 目之间有效转化，
由于 娌 Ｃ Ｏ Ｓ ＋ｂ 。 ｓ ｉ ｎ 。 ≠０ ， 因此 方 程 （ ３ ） 有 两个 根 ． 设这两个根分别为 ｔ 。 ｔ ¨ 容易 得
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