第五章-三大抽样分布-充分统计量5.4-5.5

1
1
6
2
7
8
9
9
S2
( X Y )2 / 2,
i
2
Z
2(Y1 Y2 ) / S
i7
证明: Z ~ t (2)
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第五章 统计量及其分布
§5.5 充分统计量
5.5.1 充分性的概念
第31页
① 简化程度高； 统计量是对样本的加工 目的
② 信息的损失少
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第五章 统计量及其分布
t(n) 的概率密度为:
第12页
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第五章 统计量及其分布
t 分布的密度函 数的图象是一个 关于纵轴对称的 分布，与标准正 态分布的密度函 数形状类似，只 是峰比标准正态 分布低一些尾部 的概率比标准正 态分布的大一些。
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第五章 统计量及其分布
第26页
推论5.4.3 在推论5.4.2的记号下，设
12 =22 = 2 ，
并记
m
n
s
2 w
(m
1)s
2 x
(n
1)
s
2 y
mn2
(xi
i 1
x)2 (yi
i 1
mn2
y)2
则
(x y) (1 2 ) ~ t(m n 2)
11
(2) x N(, 2/n) ； (3) (n1) s2/2 2(n1)。
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证第明五:章 统计量及其分布
第21页
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第五章 统计量及其分布
第22页
i 2,, n,
(3) 由(2)的证明知Y1,,Yn 相互独立，而
因此，X 与 S 2 独立.
则有
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第五章 统计量及其分布
第25页
推论5.4.2 设 x1, x2,…, xm 是来自N(1, 12) 的 样本，y1, y2,…, yn 是来自N(2, 22) 的样本，
且此两样本相互独立，则有
F
s
2 x
/
2 1
~
F (m 1, n 1)
s
2 y
/
2 2
特别，若12 =22 ，则 F=sx2/sy2 F(m1,n1)
这是一个特殊的Gamma分布Γ(n/2,1/2)
2 分布的性质：
分布可加性 若X～2(n1)，Y～2(n2 )， X 与 Y 独立，则 X + Y～2(n1+n2 ).
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第五章 统计量及其分布
第4页
当随机变量 2 2(n) 时，对给定 (01)，称满足 P(2 12(n)) 的 12(n) 是自由度为n1的卡方分布 的1 分位数. 分位数 12(n) 可以从附表3 中查到。
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第五章 统计量及其分布
注：
X ~ N (, 2 ) X ~ N (0,1) n n
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第五章 统计量及其分布
第24页
推论5.4.1 设 x1, x2,…, xn 是来自N(, 2) 的
样本，其样本均值和样本方差分别为 x = xi/n 和 s2= (xix)2/(n1)
i1 3
9
9
Yi 2
i 1
~ 2 (9)，且
X
与Y~ 独立,
所以
U
X Y~ / 9
~
t(9)
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第五章 统计量及其分布
第19页
一般总体的结论
设 X 为总体, 且 E(X) = , Var(X) = 2,
为样本,且：
Sn2
则：
1 n
i
n 1
(Xi
X)2, Sn2 1
n
1
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第五章 统计量及其分布
F — 分布性质:
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第五章 统计量及其分布
第11页
5.4.3 t 分布
定义 5.4.3 设随机变量X1 与X2 独立，
且X1 N(0,1), X2 2(n), 则称
t=X1/ X2/n
的分布为自由度为n 的t 分布，记为t t(n) 。
当a= , b= 时,则
X ~ 2 (2).
解：由题意得
a( X 1 2 X 2 ) ~ N( 0,1 )
b( 3 X 3 4 X 4 ) ~ N( 0,1 )
D[
a( X 1 2 X 2 )] 1
D[ b( 3 X 3 4 X 4 )] 1
a =1/20 b=1/100
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Yi ~ N (0,1) 3
故
V
9 i 1
Yi 3
2
1 9
9
Yi 2
i 1
~ 2(9)
U与V独立,
所以 Z 9U U ~ t(9)
9V V / 9
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第五章 统计量及其分布
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课堂练习
设X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(, 2)的一个样本,
Y ( X X ) / 6, Y ( X X X ) / 3,
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第五章 统计量及其分布
第14页
• 自由度为1的 t 分布就是标准柯西分布，
它的均值不存在；
1
t1( x) (1 x2 ) ,
x .
• n1时, t 分布的数学期望存在且为0；
• n2时，t 分布的方差存在，且为n/(n2)；
• 当自由度较大 (如n30) 时， t 分布可以用
n
1i
(Xi
1
X )2
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第五章 统计量及其分布
第20页
5.4.4 一些重要结论
定理5.4.1 设 x1, x2,…, xn 是来自N(, 2) 的
样本，其样本均值和样本方差分别为 x = xi/n 和 s2= (xix)2/(n1)
则有 (1) x 与 s2 相互独立；
第五章 统计量及其分布
第1页
§5.4 三大抽样分布
大家很快会看到，有很多统计推断是基于正 态分布的假设的，以标准正态变量为基石而 构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应 用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景， 而且其抽样分布的密度函数有明显表达式， 它们被称为统计中的“ 三大抽样分布 ” 。
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第五章 统计量及其分布
第7页
5.4.2 F 分布
定义5.4.2 设X1 2(m), X2 2(n), X1与X2独立，
则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F F(m, n)，其中m 称为分子自 由度，n 称为分母自由度。其概率密度为
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第五章 统计量及其分布
第34页
第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮 助的。一般地，设我们对该运动员进行n 次观测， 得到 x1, x2,…, xn，每个xj 取值非0即1，命中为1， 不命中为0。令 T = x1+…+xn ，T为观测到的命中次 数。在这种场合仅仅记录使用T 不会丢失任何与命
关于样本X的信息可以设想成如下公式：
样本X中的信息 T(X) 中所含样本的的信息 在知道T(X)后样本X尚含有的 的剩余信息
故T(X ) 为充分统计量的要求归结为：
后一项信息为0
P ( X T t) 与 无关
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第五章 统计量及其分布
第37页
定义5.5.1 设 x1, x2, …, xn 是来自某个总体
第五章 统计量及其分布
第8页
该密度 函数的 图象也 是一只 取非负 值的偏
态分布
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第五章 统计量及其分布
第9页
2. F — 分布的分位点
对于 0<<1，若存在
F1-(m, n)>0 满足
P{FF1-(m, n)} = 1-，
则称 F1-(m, n)为
F(m, n)的下侧1- 分位数
第五章 统计量及其分布
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一大堆原始资料，经过加工成简单的 T (X )后，一般来 说在信息上会有损失。但也有可能，把样本 X 加工成 T (X )后，抓住了问题的实质，T (X ) 中保留了样本X中 所含参数 的全部信息，所丢掉的只是无关紧要的东 西。如果一个统计量满足这个要求，即使忘掉了样本 X也能恢复参数 的信息，则称此统计量为充分的。
譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得
t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 .
由于 t 分布的密度函数关于0 对称, 故其分位数间 有如下关系
t(n1)= t1(n1)
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第五章 统计量及其分布
注:
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第五章 统计量及其分布
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第百度文库章 统计量及其分布
第5页
该密度函 数的图像 是一只取 非负值的 偏态分布
E 2 n,
Var( 2 ) 2n
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第五章 统计量及其分布
第6页
例 设 X1 , X 2 ,是X取3 , X自4总体N(0,4)的简单随机样
本.
X a( X1 2 X 2 )2 b(3X 3 4 X 4 )2
第五章 统计量及其分布
第2页
5.4.1 2 分布(卡方分布)
定义5.4.1 设 X1, X2,…, Xn, 独立同分布于标准
正态分布N(0,1) ，则2= X12+… Xn2的分布称 为自由度为n 的2分布，记为 2 2(n) 。
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第五章 统计量及其分布
第3页
2—分布的密度函数曲线
的样本，总体分布函数为F ( x ; )，统计
量 T = T(x1, x2, …, xn) 称为 的充分统计
量，如果在给定T 的取值后，x1, x2,…, xn
的条件分布与 无关.
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N(0, 9). 而X1, X2, …, X9和Y1, Y2, …, Y9分别是来自总 体 X 和 Y 的样本，则统计量
Z
X1 X9
Y12 Y22 .... Y92
服从 ( t ) 分布，参数为 ( 9 ).
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第五章 统计量及其分布
第29页
解:
1 9
U 9 i1 Xi ~ N (0,1),
第18页
例 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分
布 则
N ,(而0,9)
和 X1 ,,分X9别是Y1来,自,Y总9 体X和Y的 s.r.s,
U X1 X9 ~ t(9) Y12 Y92
证明：
X
1 9
9 i1
Xi
~
N( 0,1 ),
Yi ~ N( 0,1 ) 3
故
Y~
9 (Yi )2 1
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第五章 统计量及其分布
第33页
例5.5.1 为研究某个运动员的打靶命中率，我们 对该运动员进行测试，观测其10次，发现除第 三、六次未命中外，其余8次都命中。这样的 观测结果包含了两种信息：
(1) 打靶10次命中8次； (2) 2次不命中分别出现在第3次和第6次
打靶上。
sw
mn
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第五章 统计量及其分布
第27页
课堂练习
设X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(, 2)的一个样本,
则
n
i 1
Xi
2
服从什么分布？
2(n)
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第五章 统计量及其分布
第28页
课堂练习
设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布
正态分布 N(0,1)近似。
lim
n
tn
(
x
)
1 ex2 2,
2
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第五章 统计量及其分布
t(n) 的性质: (1) p(t) 关于 t=0 (纵轴) 对称。 (2) p(t) 的极限为 N(0，1) 的密度函数.
分位点
设T～t(n)，若对0<<1,
存在 t1-(n)>0， 满足
本并且不损失任何有关 的信息时，也就
是期望抽样分布 FT(t) 像 F(x) 一样概括了
有关 的一切信息，这即是说在统计量
T 的取值为 t 的情况下样本 x 的条件分布
F(x|T=t) 已不含 的信息，这正是统计量
具有充分性的含义。
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第五章 统计量及其分布
第36页
中率 有关的信息，统计上将这种“样本加工不
损失信息”称为“充分性”。
样本 x=(x1,x2,…,xn) 有一个样本分布F (x)，
这个分布包含了样本中一切有关的信息。
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第五章 统计量及其分布
第35页
统计量T =T (x1,x2,…,xn) 也有一个抽样分布 FT(t) ，当我们期望用统计量T 代替原始样
P{tt1-(n)} = 1-
则称 t1-(n)为
t(n) 的下侧1- 分位点.
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第15页
t1 (n)
第五章 统计量及其分布
第16页
当随机变量t t(n) 时，称满足
P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数.
分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。