第六章树木生长量.

第六章 生长概论 （Introduction of Increment)
第一节 树木生长量概念 （Conception of Tree Increment) 一、树木生长量的定义 在一定间隔内，树木各调查因子（D， H，V），所发生的变化称之为树木的生长， 其变化量称之为生长量。 显然，树木的生长量是随着时间的变化 而变化，是关于时间t的函数。
5、总平均生长量（简称为平均生长量）
指树木在[0，t]内的平均生长速度，即树木总生长量 yt 被t除之商，记为 。 y /t
t
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三、树木生长特点
树木生长是依靠细胞的增殖不断地扩大它的直径、 树高、材积等，由于细胞增殖的不可逆性，决定了树木 的生长是一各“纯生型” 的生长过程是一个“纯生型” 的生长过程。具有以下特点： 在树木幼年阶段，生长缓慢； k 在树木中年阶段，生长旺盛； y 在树木近、成熟阶段，生长 y(t ) 趋于停止。 上述特点，反映在总生长量 yt 与树木年龄t的关系，是一条被 拉常了的“s”型曲线。 0
k y 2
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2
2 y 则 1 0 k 这就是拐点的纵坐标
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3、罗辑斯谛曲线拟合
所谓曲线拟合，即根据样本资料 (t i , yi ) ， i=1,2,…,n.对方程中参数r、m、k 进行抽样 估计，确定r、m、k 的值。 预先给定树木调查因子y 的最大值，赋值 于k。罗辑斯谛方程可化为 k 1 me rt 两边取对数则
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方程（1）是变量可分离型一阶常微分方程， 用变量分离法解之： 首先进行变量分离
dy rdt 1 y (1 y) k
两边积分
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左边积分：
1 dy 1 k )dy ( y 1 1 y (1 y ) 1 y k k 1 1 dy dy y ky y ln y ln(k y ) ln ky
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假设 立：
dy 1 dt y
为y 的线性递减函数，即令下式成 （1）
1 dy y dt
r y k
1 dy r r y y dt k
r
式中r、k 为大于零的常数。
(1)式为著名的阻滞方程
r y （Wehuls-pearl），其中， k
y
是树木竞争 其相对生长速度的下降量。故称为“拥挤效 应系数”。
被积函数化为部分分式： 令
1 y(1 1 y) k A B y 1 1 y k
欲使上式成立有：
A 1 1 B A 0 K
右边积分：
解得 A=1
B=1/K
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rdt rt c
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c为积分常数
代入，有
y ln rt c ky
从而得到方程的（1）的隐式通解。为了确定积分常数c ， ( y0 0) 代入初始条件，当t=0时， y=y0 y0 于是 C ln k y0 代入通解
k
· · · ·· · ·· · ·
t
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（2） y 是关于t的单调增函数
由公式（1），树木生长速度为
dy 1 yr (1 y) dt k
y k
dy dt 0
即y 是关于t 的增函数
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（3）曲线存在一个拐点 求y对t 的二阶导数方程
令
d y y 2y 2 r y(1 )(1 ) 2 dt k k d2y y 0 y k 1 0 2 k dt
移项：
y0 y ln rt ln ky k y0
y0 y ln ln rt ky k y0 k y0 y e rt y0 ky
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令
k y0 m y0
则
y rt m e ky m y e rt (k y ) k e k y rt me 1 m ert
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Z yt yt 1
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4、定期平均生长量
树木在一定间隔期[t-n，t]内的平均生长速度，即定 期生长量 Z 被定期的年数n除之商。记为
n
y t y t n n n
n
生长比较缓慢的树种，相差一年的连年生长量一般不 易测准，故生产中常用定期（n=5或者10年）平均生长 量来代替连年生长量。
t
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第二节 树木生长方程 Equations of Tree Increment
树木总生长量yt 关于t的函数称为泛指 生长方程。这样的生长方程有无穷多条。 其原因是影响树木生长的因子太多。通常 生长方程研究的是树木的平均生长曲线。 即在均值意义上的生长方程，是唯一的。 生长方程描述树木某调查因子生长的 本质规律，是关于树木年龄t的确定性函数。
y
k ln( 1) ln m rt y
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'
X=t
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一、罗缉斯谛（Logistic）方程及拟合法
1、方程的导出 设y（t）为树木的生长方程，且令树木 单位时间的生长量（即生长速度）为 dy ， 1 dy dt 相对生长速度（即生长率）为 y dt 由于树木在林地上的营养空间有限，树 木生长受到林木竞争的限制，且随树木调 查因子y（t）的增长而竞争加剧，使得该 树木的相对生长速度为y的递减函数。
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二、生长量的种类
1、总生长量 2、定期生长量
树木从种植开始，直至调查时（t），整个期间的累 积生长量。它是t的函数，记为 y t 树木在一定间隔期[t-n，t]内的生长量，记为
Z n。
Zn y t y t n
3、连年生长量
树木在单位时间的生长速度，即树木在一年间的生长 量，记为 Z 。
rt
（2）
式（2）即为著名的罗辑斯谛方程。
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2.罗辑斯谛方程的性质
（1）罗缉斯缔曲线有两条渐近线 Y=k y=0
y
k lim 0 rt t 1 m e k k lim rt t 1 m e
K 称为树木生长的极限值
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