矩阵函数的性质及其应用

§7 矩阵函数的性质及其应用

一、矩阵函数的性质： 设n n C B A ⨯∈. 1．

A e Ae e dt

d At At At

⋅== proof : 由 ()∑∑

⋅==∞

=m m m m At

A t m At m e

!1!

1

对任何t 收敛。因而可以逐项求导。

()∑∞=--=∴01!11m m

m At A t m e dt d ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∑∞=-11!11m m At m A ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∑k At k A !1

At

e

A ⋅=()()()A e A At m A A t m At

m m m m m ⋅=⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⋅-=∑∑∞

=∞=---01111!11!11 可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质 2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =⋅ ②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅

③．()()A

A A A

A A

B A B A B A B

A B A B A B

A cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=⇒+=+-=+=

proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=

而∑∑∞

=∞==⎪⎭

⎫

⎝⎛=00!1!1m m m m m m At

B A t m B t A m B e

()∑∑∞

=∞

=⋅==00!1!1m m

m m m At m B BA t m At

e B ⋅=

②令()()A B t

At Bt C t e e e +--=⋅⋅

由于

()0=t C dt

d

)(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =-⋅===000)0()1()(

当1=t 时，E e e e B A B A =⋅⋅--+ …………………. （@） 特别地 A B -= 有E e e e A A =⋅⋅-0

∴ 有 ()

A A

e e --=1

∴

同理有()

B B

e e --=1

代入（@）式 因而有B A B A e e e ⋅=+ 3.利用绝对收敛级数的性质，可得 ①A i A e iA sin cos +=

()

()

iA iA

iA iA

e e i

A e e A ---=

+=

⇒21sin 2

1cos ②()()A A A A sin sin cos cos -=-=-

4.E A A =+22cos sin

()()A E A A

E A cos 2cos sin 2sin ππ+=+

A E i A e e =+π2

二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解 AX dt

dX = 其中()T

n n n x x x X C A ,,,21 =∈⨯ 则有()K e t X At ⋅=，其中()

T

n k k k K ,,,21 =

1eg 解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-=+-=3

13212211

234x

x dt

dx x x dt

dx

x x dt dx

解：原方程变为矩阵形式AX dt dX = ⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=201034011A ()T

x x x X 321,,=

由()()2

12--=-λλλA E 得⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=→100110002J A

120

0000-⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=∴P e e e e P e t t

t t

At

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=∴-321120

00

00

)(k k k P e e e e P t X t t

t t

2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：

1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：

()

()⎪⎩⎪⎨

⎧==T

n x x x X AX

dt dX

)0(,),0(),0(210 有唯一解)0(X e X At ⋅=

proof :实际上，由

AX dt

dX

=的通解为K e t X At ⋅=)( 将初值)0(X 代入，得)0(X k =

)0(X e X At =∴

由1Th 可的定解问题()⎪⎩⎪

⎨⎧==T

n t x t x t x t X AX dt dX

)(,),(),()(002010

的唯一解为()()

00)(t X e t X t t A ⋅=-

2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==T

x Ax

dt dx

1,00,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1221A 的解

解：由

0=-A E λ 得i x 32,1±=

对应的特征向量记为：T

i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=231,1α ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=231,1i β 则，于是矩阵：⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=2312311

1

i i

P

1330

0--⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅=∴P e e P e

it it

At

⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)(

练习：求微分方程组

1

13

2

1233

13

383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=--⎪⎩

满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===的解。 解：令

12330813

16,(),(0)120

51x A x t x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥=-== ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝

⎭⎣⎦⎣

⎦ 可求得3det()(1)I A λλ-=+，而A 的最小多项式2()(1)A m λλ=+。可设