概率论与数理统计 8.2 正态总体参数的假设检验

8.2正态总体参数的 假设检验
1、单个正态总体的假设检验 2、两个正态总体的假设检验 3、单侧假设检验
1
一、单个正态总体的参数假设检验:
设总体 X
N ( , ) , 从 X 中抽取一样本
2
( X1 , X 2 ,
, X n ) , 设 X 与 S 2 表示样本均值
及样本方差 .
2
(一) 总体均值的假设检验:
T=
X 0 S/ n
t ( n 1) ,
给定 = 0.05 , 查表可得 t0.025 ( n 1)的值, 使 P{ T ≤ t ( n 1) } = ,
即
P{ X ≤ 0 t (n 1)
S n
} = .
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由子样值计算 x 及 S 的值,
若
x ≤ 0 t ( n 1)
问: 这两种药疗效有无显著差异 ? ( =0.05)
14
解 设 X
N 1 , 2 , Y


N 2 , 2
H1 : 1 2


作假设 H 0 : 1 = 2 ;
在 H0 成立的前提下有
T = Sω
X Y 1 1 n1 n2
t ( n1 n2 2) ,
n1 = n2 = 8 , t (8 + 8 2) = t0.025 (14) = 2.1448 ,
1、总体方差 σ 2 已知:
（1）作假设
H 0 : = 0 ; H 1 : 0
（2）选取统计量
源自文库U=
X 0
/ n
N( 0 ,1 ) .
（3）拒绝域 给定显著性水平 , 查表得 z 的值, 由
2
P{ U > z } = ,
2
得拒绝域为 { U > z } .
2
3
（4）计算 U =
行改进, 从中抽取7炉铁水, 测得碳的质量 分数为: 4.411, 4.062, 4.337, 4.394, 4.346, 4.277, 4.693 . 试问新工艺炼出的铁水中碳 的质量分数的方差是否有明显改变?
( = 0.05 )
9
解 作假设 H0 : = 0.112 ; H1 : 0.112
并设其样本平均数及样本方差分别为
2 X , Y 及 S12 , S2 .
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(一) 两个正态总体均值的假设检验:
作假设 H 0 : 1 = 2 ;
H1 : 1 2
(1) 若 σ12 , σ22 已知, 在 H0 成立的前提下作函数
U=
X Y

2 1
n1
+

2 2
N( 0 ,1) ,
n2
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解 作假设
经计算知
H0 : = ;
2 1 2 2
H1 :
2 1
2 2
2 2
S = 0.272 ,
2 1
S = 0.2164 ,
S12 F = 2 = 1.261 , S2
n1 = 7 , n2 = 8 , = 0.05 , 查表得 F0.025 (6 , 7) = 5.12 ,
(6) , 故拒绝 H0 , 即认为铁水
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中碳的质量分数的方差有明显变化 .
二 、两个正态总体的参数假设检验:
设有两个正态总体
X
N 1 , 12 , Y


2 N 2 , 2 ,


从两个总体中分别抽取两个样本
( X1 , X 2 ,
, X n1 ) , (Y1 , Y2 ,
, Yn2 ) ,
n 35 36 p 0.95 1.6896 1.6883 0.975 2.0301 2.0282
6
解：第一步，提出假设 H0 : 0 70, H1 : 70 第二步，选取检验统计量 X 0 T ~ t (n 1) s/ n 第三步，具体算得
( 0.05)
X 66.5 70 | T | 1.4 t1 / 2 (36 1) 2.0301 s/ n 15 / 36
0 = 0.095 , n = 20 , x = 0.081 ,
S = 0.025 , t0.05 (19) = 1.7291 ,
计算知 x < 0.085 , 所以拒绝 H0 ,
即认为机床调整后加工轴的椭圆度有显著降低 .
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例6：从某学院经常参加锻炼和不经常参加锻 炼的男生中各随机抽取50名 , 测得平均
2
得拒绝域为 { t > t (n 1) } .
2
5
例1(98年考研)设某次考试的考生成绩服从正态分布， 从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分， 标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认 为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检 验过程。（附：t分布表）
计算得 x = 0.081 , 标准差 S = 0.025 .
问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显 著降低 ? 这里假定调整后机床加工轴的
椭圆度是正态总体( 取 = 0.05 ) .
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解 作假设 H 0 : ≥ 0.095 ; H1 : < 0.095
在 μ = 0.095 前提下统计量
由于 n1 = n2 = 50 , x = 174.34 , y = 172.42 ,
所以
=
xy
12
n1

2 2
= 1.6717
n2
查表知 z0.95 = 1.64 , 由于 > z0.95 , 故拒绝 H 0 ,
认为经常锻炼的明显高于不经常锻炼的学生 .
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X 0
/ n
的值，与| z /2 |的值做比较 ,
作出接受H 0或者否定H 0的决定。
4
2、总体方差 σ 2 未知:
作假设
H 0 : = 0 ; H1 : 0
建立函数
t=
X 0 S/ n
t( n 1 ) .
给定显著性水平 , 查表得 t 的值, 由
2
P{ t > t (n 1)} = ,
于是拒绝域为 { T > t (n1 n2 2) } .
2
13
例3、 设有甲乙两种安眠药, 比较它们的治疗效 果. 以 X 表示失眠患者服甲药后延长睡眠 的时数, 以 Y 表示失眠患者服乙药后延长 睡眠的时数 . 现独立观察16个患者 , 其中 8人服甲药, 8人服乙药, 延长时数分别为 X : 0.1, 0.1, 3.5, 4.3, 1.8, 2.7, 5.4, 0.8 ; Y : 1.7, 2.2, 0.0, 0.6, 1.5, 3.3, 1.5, 1.2 ; 假设 X 与 Y 服从方差相同的正态分布, 试
2 给定显著性水平 , 查表得 ( n 1) ,
2 (n 1) 的值, 于是得拒绝域为
1 2 2 { 2 ( n 1) 或 2 2 ( n 1) } 2 1 2
8
例2：某炼铁厂铁水中碳的质量分数 X (单位:%)
服从正态分布 N( μ , 0.112 2) . 现对工艺进
2 2 2
2
由 = 0.05 , n = 7 , 查表得
2 2 0.975 (6) = 1.237 , 0.025 (6) = 14.449 ,
经计算知
x = 4.36 ,
S 2 = 0.0351 ,
2 0
2 =
由于 >
2 2 0.025
( n 1 )S 2

= 16.789 ,
S n
,
则认为 < 0 较合理, 即应该拒绝 H 0
而接受 H1 .
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于是得到以下检验方法:
若
x ≤ 0 t ( n 1)
S n
,
则拒绝 H 0 , 认为 < 0 ;
若
x > 0 t ( n 1)
S n
,
则接受 H 0 , 认为 ≥ 0 .
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在例4中, 经计算得
为原假设, 而它的对立情形 H1 为 ≥ 0 ,
2 2 ≤ 0 , 2 ≥ 0 , 1 ≥ 2 , 12 ≤ 2 等,
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将其称为对立假设. 则由 H 0 与相应的 H1
所构成的一对假设 , 称为单侧假设检验 , 相应地前面所讲的假设检验称为双侧假设 检验 .
22
例5：一台机床加工轴的平均椭圆度是0.095 , 机床经过调整后取20根轴测量其椭圆度,
拒绝域为 { U >z } .
2
12
(2) σ12 = σ22 =σ 2 , 但 σ 2 未知, 在 H0 成立下有
T = S
X Y 1 1 n1 n2
t ( n1 n2 2) ,
其中
S 2
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S 2 = , n1 n2 2
1 F0.975 (6 , 7) = = 0.175 F0.025 (7 , 6)
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故 F 的值不在拒绝域 , 即在 = 0.05 水平下
认为两台机床加工精度差别不大 .
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三、单侧假设检验:
实际问题中假设 H 0 的形式除了 = 0 ,
2 2 2 = 0 , 1 = 2 , 12 = 2 等外, 还有 2 ≤ 0 , ≥ 0 , 2 ≤ 0 , 1 ≤ 2 , 2 12 ≥ 2 等形式, 此时, 仍称这些假设 H0
身高 x = 174.34 , y = 172.42 . 身高服从
正态分布, 且已知 1 = 5.35 , 2 = 6.11 .
问经常锻炼的学生是否高于不经常锻炼
的学生( = 0.05 ) ?
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解
因 与 均已知 , 故作假设
2 1 2 2
H 0 : 1 ≤ 2 ;
H 1 : 1 2
2
1

2
( n1 1 , n2 1) }
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例4：甲乙两台机床加工某零件, 零件直径服从
正态分布, 总体方差反映了加工精度 . 为
比较两台机床的加工精度有无差别, 现从 各自加工的零件中分别抽取7件及8件产品, 测其直径为 (假设 = 0.05 ) X (甲): 16.2, 16.4, 15.6, 15.7, 16.5, 15.8, 16.0; Y (乙): 15.7, 16.2, 16.4, 16.0, 16.6, 15.9, 15.8, 15.0 ;
2
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于是拒绝域为
{ T > 2.1448 } .
经计算知
x = 2.3375 ,
S12 = 3.91125 ,
2 S2 = 0.98857 , Sω = 1.565 .
于是有
T =1.0703 ,
由于 T < 2.1448 , 故接受 H0 , 即认为甲乙两 种药的疗效无显著差异 .
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(二) 两个正态总体方差的假设检验:
因此，不拒绝原假设μ=70，即在显著性水平0.05下 可以认为全体考生的平均成绩为70分。
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(二) 总体 σ 2 的假设检验 ( μ 未知) :
作假设
H0 : = ;
2 2 0
H1 :
2
2 0
建立函数 2 =
( n 1 )S 2
2
2
2( n 1 ) ,
作假设
2 H0 : 12 = 2 ;
2 H1 : 12 2
在 H0 成立条件下
S12 12 S12 F = 2 2 = 2 S 2 2 S2
于是拒绝域为
F ( n1 1 , n2 1 ) ,
{ F > F ( n1 1 , n2 1) 或 F < F