无穷小的比较

无穷小的比较
ln(1 + x ) ~ x , sin x ~ x , tan x ~ x ,
ln 1 + x + 2 sin x 1. 求 lim x →0 tan x ln 1 + x + 2 sin x 解 lim x →0 tan x ln 1 + x 2 sin x = lim + lim x →0 x → 0 tan x tan x
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无穷小的比较
作业
(85页 习题 (85页) 1. 2. 3. 4. (2) (3) (4) 5.
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x →0
x3 x
x →0
x
x
2
∴ tan x − sin x为x的三阶无穷小 .
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无穷小的比较
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 定理1 β ~ α ⇔ 证 ⇒设 α ~ β, 则 β −α β β = lim − 1 = lim lim − 1 = 0, α α α 因此 β − α = o (α ), 即 β = α + o (α ).
等价, α + o(α) ~ α.
例如,当x → 0时,
x +2x2 − x3 ~ x,
sin x+ x ~ x. +
2
x − x ~ x,
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无穷小的比较
例 当 →0时 x , 时
sin x ~ x , 所以 当x → 0时有 sin x = x + o( x ),
tan x ~ x , 所以 当x → 0时有
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无穷小的比较
思考题
任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？ 任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？ 不能． 解答 不能． 例如 当x → 0时, 时 1 α ( x ) = x sin , β ( x ) = x 都是无穷小, 都是无穷小, x α ( x) 1 但 lim = lim sin 不存在 不存在. x →0 β ( x ) x→0 x 时 故 当x → 0时, α ( x )和β ( x ) 不能比较 不能比较.
第五节 无穷小的比较
无穷小的比较 利用等价无穷小替换求极限 小结 思考题 作业
第一章
函数与极限
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一、无穷小的比较
当 时 如, x → 0时, x ,
观 察 各 极 限
x2 = 0, lim x →0 3 x
sin x lim = 1, x→0 x
2
1 x , sin x , x sin x
解 当 →0时 tan x ~ x , sin x ~ x , 错 x , 时 x− x 原式× lim = = 0. 3 x →0 (2 x ) x , 时 解 当 →0时 sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x − sin x = tan x (1 − cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 原式 = lim . 3 = x→ 0 ( 2 x ) → 16
1 1 2 ( 1 + x + x − 1) ~ ( x + x ) ~ x , 2 2 3 以及 ( x + sin 2 x ) ~ sin 2 x ~ 2 x . 故 1 x 1 1 + x + x2 − 1 lim = lim 2 = . x →0 x →0 2 x x 3 + sin 2 x 4
记作 α ~ β . infinitesimal equivalenec
3
无穷小的比较
β ( 4) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), α 阶无穷小. 就说 β 是关于 α 的 k 阶无穷小
1 1 1 1 高阶无穷小, 如 n → ∞时, 2 是 的高阶无穷小 2 = o ; n n n n
1 100 同阶无穷小. x → ∞时, 是 的 同阶无穷小 x x 1 − cos x 1 因为 lim = , 2 2 x→0 x 2
所以当 x → 0时, 1 − cos x是x的 二阶无穷小 时 二阶无穷小.
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常用等价无穷小
当x →0时
tan x ~ x ,
sin x ~ x ,
2
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三、小结
1. 无穷小的比较 反映了同一过程中, 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 阶无穷小; 高(低)阶无穷小 同阶 等价 无穷小 无穷小的阶 低 阶无穷小 同阶(等价 无穷小; 无穷小的阶. 等价)无穷小 2. 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 求极限的又一种方法 注意适用条件
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 时 2 (2 x )2 原式 = lim = 8. x→ 0 1 → x2 2
注 加、减项的无穷小不要用等价无 减项的无穷小不要用等价无 穷小代换. 穷小代换
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tan x − sin x 例 求 lim 3 x→0 sin 2 x
1 ln(1 + x ) sin x 5 = = lim + 2 lim x → 0 tan x 2 2 x → 0 tan x
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1 x → 0, 1 + x − 1 ~ x 2 2 1+ x + x −1 2. 求 lim . 3 x →0 x + sin 2 x
解 当x → 0时, 时
2
2
.
x 2 → 0比3 x → 0要快得多 ;
sin x → 0 x → 0快 ;
1 x sin x = lim sin 1 lim x→0 x→0 x2 x
. 快
比. 比 .
2
,
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定义
是同一过程中的两个无穷小, 是同一过程中的两个无穷小
β 高阶的无穷小; (1) 如果 lim = 0,就说 β 是比 α 高阶的无穷小 α 记作 β = o(α); β 低阶的无穷小; 低阶的无穷小 ( 2) 如果 lim = ∞ , α β ( 3) 如果 lim = C (C ≠ 0),就说 β 与α是同阶无穷小 同阶无穷小; α , C 时 特别当 = 1 ,则称β 与α是 等价无穷小 等价无穷小,
β α′ β′ = lim ⋅ lim ⋅ lim β′ α α′ β′ = lim = A (或∞ ). α′
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等价无穷小替换定理说明, 等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之 比的极限, 比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限 型未定式的极限运算带来方便. 给 0 型未定式的极限运算带来方便. 代替. 代替.
arcsin x ~ x ,
arctan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
1 1 + x − 1 ~ x, 2 1 2 1 − cos x ~ x . 2
n
e − 1 ~ x,
x
1 1 + x − 1 ~ x, n
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lim
1 − cos x 1 = 2 x →0 2 x
tan x = x + o( x ),
所以 当x → 0时有
1 2 1 − cos x ~ x , 所以 当x → 0时有 2 1 2 1 − cos x = x + o( x 2 ). 2
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定理2 等价无穷小替换定理) 定理2 (等价无穷小替换定理)
β′ ∞ 设α ~ α′,β ~ β′ 且lim = A(或 ), α′ β′ β ∞ 则lim = lim = A(或 ). α α′ β β β′ α′ 证 lim = lim( ⋅ ⋅ ) α β′ α′ α
例 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 . 解 lim
x →0
4 x tan 3 x
x4
tan x 3 ) = 4, = 4 lim( x→0 x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例 当x → 0时, 求 tan x − sin x关于x的阶数 . 1 tan x − sin x tan x 1 − cos x )= , 解 Q lim = C (C ≠ 0) ⋅ = lim( 2 ?
0
tan 2 x 例 求 lim . x→ 0 sin 5 x →
解 当 →0时 tan 2 x ~ 2 x , sin 5 x ~ 5 x , x , 时
2x 2 原式 = lim = . x →0 5 x 5
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tan 2 2 x 例 求 lim . x → 0 1 − cos x
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β ~ α ⇔β = α + o(α)
tan 5 x − cos x + 1 例 求 lim x→0 sin 3 x
tan x ~ x , sin x ~ x , 1 2 1 − cos x ~ x 2 解 Q tan 5 x = 5 x + o( x ), sin 3 x = 3 x + o( x ), 1 2 x + o( x 2 ). 分子, 分子 分母同除以 x 1 − cos x = 2 1 2 5 x + o( x ) + x + o( x 2 ) 2 原式 = lim x→0 3 x + o( x ) o( x ) 1 o( x 2 ) 5+ + x+ x 2 x = 5. = lim x→0 o( x ) 3 3+ x 14
⇐ 设 β = α + o(α ), 则
因此 α ~ β .
α + o(α ) β o(α ) lim = lim = lim 1 + = 1, α α α
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β ~ α ⇔β = α + o(α)
此定理说明:两个等价无穷小的差, 此定理说明:两个等价无穷小的差,比它们中 的任何一个都是高阶无穷小; 或者说, 的任何一个都是高阶无穷小 或者说,一个无穷小 α与它的高阶无穷小 o(α )之和, 仍与原无穷小 α