基于椭圆型限制性三体模型的借力飞行机理研究

第31卷第1期2010年1月　

宇　航　学　报

Journal of Astronautics

V ol.31January N o.1

2010

基于椭圆型限制性三体模型的借力飞行机理研究

乔　栋,崔平远,尚海滨

(北京理工大学宇航学院深空探测技术研究所,北京100081)

摘　要:针对星际探测中的借力飞行技术,基于椭圆型限制性三体模型,深入研究了借力飞行自由参数与借力飞行轨道变化之间的关系。在椭圆型限制性三体问题的假设下,通过正向和逆向积分相结合的方法,重点研究了借力天体轨道偏心率和相位角对借力飞行逃逸和俘获区域参数变化的影响,同时分析了借力天体轨道偏心率和相位角对借力飞行实现顺行轨道与逆行轨道转变区域参数变化的影响,并以地月系统引力参数为例,分析了借力天体分别对应不同轨道偏心率和相位角时,前向和后向飞越情况下,借力飞行对轨道能量和角动量的影响,总结出了相应的变化规律。这些研究对于借力飞行轨道的设计与应用具有重要的参考意义。

关键词:椭圆型限制性三体问题;借力飞行;俘获与逃逸;顺行与逆行轨道中图分类号:A41 文献标识码:A 文章编号:100021328(2010)0120036208

DOI :10.3873Πj.issn.100021328.2010.01.005

收稿日期:2009204215;　修回日期:2009206203

基金项目:国家自然科学基金(10832004);博士后科学基金(20080430022)

0　引言

借力飞行技术(G ravity Assist 或S wing 2by )因可以有效降低星际探测任务所需的发射能量和总的速度增量,而引起了广泛的关注。对于借力飞行技术的研究目前主要集中在借力飞行技术的应用方面,例如借力序列的选择[1]

、多次借力方案的设计与优

化

[2-4]

以及小推力借力的研究[5-9]

等,而对于借力飞

行技术本身的探讨和研究很少。1988年Broucke 对借力飞行前后的速度、动量和能量变化进行了分析,给出了前向飞越能量减少,后向飞越能量增加等结论,这些结论揭开了人类对借力飞行特性认识的新篇章,同时也对借力飞行轨道的设计起到了重要的指导作用

[10]

。此后,Prado 、Felipe 、Qiao 等

[11-14]

基于

圆型限制性三体模型(CRT BP )对借力飞行轨道的选择问题进行了研究和分析,这些研究为对借力飞行技术的进一步认识奠定了基础。

本文在以前研究工作的基础上,将对借力飞行机理问题的探讨从圆型限制性三体模型(CRT BP )拓展到椭圆型限制性三体模型(ERT BP ),重点研究借力天体相位角和轨道偏心率与借力飞行轨道变化之间的关系,分析借力天体轨道偏心率和相位角对借力飞行逃逸和俘获区域参数变化的影响,同时讨论

对借力飞行实现顺行轨道与逆行轨道转变区域参数变化的影响,并以地月系统引力参数为例,分析借力天体分别对应不同轨道偏心率和相位角时,前向飞越和后向飞越情况下,借力飞行对轨道能量和角动量的影响,发现并总结出相应的变化规律。这些研究对于借力飞行轨道的设计具有重要的参考意义。1　问题描述

椭圆型限制性三体模型下,二维借力飞行可通

过四个自由参数来描述:(1)V p (飞越借力天体时近心点处的速度);(2)R p (飞越借力天体时的近心点距离);(3)Ψ,飞越角(即飞行器与借力天体连线与两个主天体连线的夹角);(4)θ,借力天体相位角。这些参数的定义,如图1所示。

借力飞行过程可分为三个部分:(1)借力飞行前,借力天体的影响忽略,飞行器与中心天体构成二体系统;(2)借力飞行中,飞行器、借力天体与中心天体构成限制性三体系统;(3)借力飞行后,借力天体的影响忽略,飞行器与中心天体构成二体系统。2　椭圆型限制性三体模型2.1　动力学方程

假设借力飞行时,系统为椭圆型限制性三体系

图1　

基于椭圆型限制性三体的借力飞行示意图

Fig.1　Sketch map og gravity assist with ellipse

restricted three 2body problem

统,即主天体M 1,质量较小的借力天体M 2和质量可以忽略的第三体M 3,其中M 2绕M 1-M 2的质心作椭圆运动,M 3在两个天体的作用下运动,几何关系如图2所示。

图2　椭圆型限制性三体的几何关系

Fig.2　The geometrical relation of ellipse restricted

three 2body problem

B 为惯性原点,M 3的运动方程为:

ρ¨

=-G M 1

d

d

3

+M 2

r

r

3

(1)

这里 ρ¨

为M 3的惯性加速度,G 为引力常数,d =| d |,

r =| r |。在旋转坐标系下,位置矢量 ρ可以描述为:

ρ=xx →R +yy →R +z z →

R

(2)

这里x →

R ,y →

R ,z →

R 为单位矢量,则速度和加速度为:

ρ′=(x ′-θ′y )x →

R +(y ′+θ′x )y →

R +z ′z →

R (3)

ρ″=(x ″-θ″y -2θ′y ′-θ′2

x )x →

R +

(y ″+θ″x +2θ′x ′-θ′2

y )y →R +z ″z →

R

(4)

方程(4)中包含了旋转坐标系相对于惯性坐标系的角速度θ′(t )和角加速度θ″(t )。由轨道动力学中

的椭圆运动方程可以得到角速度θ′为:

θ′=h

R

2=

a (1-e )(1+e )G (m 1+m 2)

a 2[1-e cos (E )]

2

(5) 在方程(5)中,角度E 是个时变函数。E 与时间的关系为:

t -t p =(

a 3

/G (m 1+m 2))[E -e sin (E )]　(6)

这里t p 为经过近心点的时间。旋转坐标系相对于惯性系的角加速度θ″为:

　θ″=

-2G (m 1+m 2)(1-e )(1+e )e sin (E )

a 3[1-e cos (E )]

4(7)

单位正则化处理,总的质量为单位1,两个主天体之间的平均距离为单位1,引力常数为单位1,即

G =1,则特征时间为1/n mean (这里n mean 表示平均

运动)。可得椭圆限制性三体问题的运动方程为:

¨x -2 θ y =U x +¨θy ¨y +2 θ x =U y -¨θx ¨z =U z

(8)

这里

U x =-(1-μ)(x +μ)

d 3

-

μ(x -1-μ)

r

3

+ θ2

x

U y =-(1-μ)y d 3

-μy

r 3

+ θ2

y

U z =-

(1-μ)z

d

3

-

μz

r

3

其中

d =(x +μ)2+y 2+z 2r =

(x -1+μ)2+y 2+z 2

θ=h

R

2=

a (1-e )(1+e )

[1-e cos (E )]

2

¨θ=

-2(1-e )(1+e )e sin (E )

[1-e cos (E )]

4

2.2　分析方法

基于椭圆型限制性三体系统的借力飞行过程如图1所示,飞行器离开A 点,在两个天体的共同作用下,穿过轴线x (M 1与M 2的连线),经过P 点(飞行器飞越M 2时的近心点),到达B 点。假设在A 点和B 点处飞行器受到M 2的影响可以忽略。

假设飞行器在xy 平面内运动,则由图1可以得到飞行器在质心旋转坐标系下的位置状态,即

X r =R p cos Ψ+(1-μ

)R Y r =R p sin Ψ

(9)

7

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