构造含30角的直角三角形解题

构造含30°角的直角三角形解题

30︒的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常出现，利用它的关键是设法构造出含有30︒角的直角三角形．本文列举几例，以说明怎样通过添加辅助线构造出含30︒角的直角三角形．

例1 如图1，在ABC △

中，30B AC ∠=︒=，，等腰直角三角形ACD 的斜边AD

在AB 边上，求BC 的长．

分析：本题含有30︒角的条件，因为只有在直角三角形中的30︒角才有上述的特殊性质，所以需作辅助垂线，构造出一个含有30︒角的直角三角形来，这是解决本体的关键所在． 解：过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ．因为90AC CD ACD =∠=︒，，所以

2AD =，因为CE AB ⊥，ACD △是等腰直角三角形，所以 112AE AD CE =

==。在BCE Rt △中，

∠

例2 在ABC △中，120AB AC A =∠=︒，，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ．如果1DE =，求BC 的长．

分析：根据题意，容易发现2BD =，如果连接AD ，则有2AD BD ==，而24CD AD ==，所以BC 可求．

解：连接AD ，DE Q 垂直平分AB ，AD BD =∴，90DEB ∠=︒．AB AC =Q ，120BAC ∠=︒，30B C ∠=∠=︒∴．

在BDE Rt △中13022

B DE BD BD ∠=︒=

=，∴，∴．AD BD =Q ， 1203090BAD B DAC BAC BAD ∠=∠∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，∴，而30C ∠=︒，

12

AD CD =∴，224CD AD BD ===，故有：426BC CD BD =+=+=． 例3 如图3，60DAB CD AD CB AB ∠=︒⊥⊥，，，且21AB CD ==，，求AD 和BC 的长．

分析：注意到条件6090DAB B ∠=︒∠=︒，，联想到含30︒角的直角三角形的性质，

延长AD 和BC ，就可以构造出两个含30︒角的直角三角形来．

解：延长AD ，BC 交于点E ．

∵6090DAB B ∠=︒∠=︒，，30E ∠=︒∴，又CD AD ⊥， 9022CDE CE CD ∠===o ∴，∴， DE =∴

图3 A

D

E C

B

图2

又3090E B ∠=︒∠=︒，，

24AE AB ==∴，

BE ==∴

42AD AE DE BC BE CE =-==-=∴．

例4 如图4，在△ABC 中，BD ＝DC ，若AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°．求证：AC ＝

12AB ． 分析：由结论12

AC AB =和条件30BAD =o ∠，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过B 作BE AD ⊥交AD 的延长线于点E ，这样就得到了直角三角形ABE ，这是解决本题的关键．

证明：过B 作BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，则90AEB ∠=︒．

1302

BAD BE AB ∠=︒=Q ，∴． 90AD AC DAC ⊥∠=︒Q ，∴， AEB DAC ∠=∠∴．

又BD CD BDE CDA =∠=∠，， BED CAD ∴△≌△，

12BE CA AC AB ==∴，∴． A B C E D 图4