2017_2018学年八年级数学上册轴对称微专题巧构30°的直角三角形同步精练(新版)新人教版

微专题 巧构30°的直角三角形

【方法技巧】 遇到30°角常用的辅助线就是作垂线，构造直角三角形，将角度关系转化为边的关系来解决问题．

基本图形：如图，△ABC 中，∠A CB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ＝12

BC ，CD ＝12AC ，BC ＝12

AB .

一、连接两点构造 1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，试探究BE 与CE 之间的数量关系．(导学号：58024208)

【解题过程】

解：连接AE ，证BE ＝AE ，∠EAC ＝90°，∴CE ＝2AE ＝2BE .

2．如图，以等腰直角△ABC 的直角边AC 为边作等边△ACD ，CE ⊥AD 于E ，BD ，CE 交于点F .(导学号：58024209)

(1)求∠DFE 的度数；

(2)求证：AB ＝2DF .

【解题过程】

解：(1)易求∠BDC ＝15°，∠DCF ＝30°，∴∠DFE ＝45°.

(2)证明：连接AF ，易证∠AFD ＝90°，AF ＝DF ，

易求∠ABD ＝30°，∴AB ＝2AF ＝2DF .

二、作垂线构造

3．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝30°，求证：AD ＝2BC .(导学号：58024210)

【解题过程】

证明：过C作CE⊥AD于E，证∠CDE＝30°，

∴CD＝2CE，CE＝CB，

∴CD＝2BC.

∵CD＝AD，∴AD＝2BC.

4．如图，CD是△ABC的中线，CD⊥CB，∠ACD＝30°，求证：AC＝2BC.(导学号：58024211)

【解题过程】

证明：过A作AE⊥CD于E，

∴AC＝2AE，

证△ADE≌△BDC，

∴AE＝BC，

∴AC＝2BC.

三、延长两边构造

5．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，若AB＝2，CD＝8，求AD的长．(导学号：58024212)

【解题过程】

解：延长CD，BA交于M，构造30°的直角△CBM，证△ADM是等边三角形，设AD＝AM ＝DM＝x，

∴8＋x＝2(x＋2)，x＝4，∴AD＝4.