第二节-定积分的基本性质---2012-2-4

§6.2定积分的基本性质

教学目的：理解定积分的性质，了解性质的证明；能熟练正确

运用性质进行相关判断、计算和证明.

重点：能熟练正确运用性质进行计算和证明. 难点：性质的灵活运用.

教学方法：以讲为主，讲练结合 教学过程：

一、定积分的性质

假设以下各函数都是所讨论区间上的可积函数，且a b <.(1-4对a b >也成立)，则 【性质1】

()()b b

a

a

kf x dx k f x dx =⎰

⎰, (k 为常数).

常数因子可以提到积分符号外. 证明：

||||0

1

()lim

()n

b i

i

a

i kf x dx kf x

ξ∆→==∆∑⎰

||||0

1

lim

()()n

b

i

i

a i k f x

k f x dx ξ∆→==∆=∑⎰.

【性质2】

[()()]()()b b

b

a

a

a

f x

g x dx f x dx g x dx ±=±⎰

⎰⎰.

即代数和的积分等于积分的代数和. 证明：

||||0

1

[()()]lim

[()()]n

b i

i

i

a

i f x g x dx f g x

ξξ∆→=±=±∆∑⎰

||||0

||||0

1

1

lim

()lim

()n

n

i

i

i

i

i i f x

g x

ξξ∆→∆→===∆±∆∑∑

()()b b

a

a

f x dx

g x dx =±⎰⎰.

注:1-2可合并为

[()()]()()b b b

a

a

a

f x

g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰

⎰⎰.

（其中,αβ为常数）.

【性质3】（定积分的可加性）即若积分区间[,]a b 被点 c 分割成两个小区间[,]a c 、[,]c b ，则

()()()b c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰.其中不论c 在

[,]a b 外，还是在[,]a b 内都不影响结论.

证明：(1)先假设a c b <<.设1∆与2∆是[,]a c 与的[,]c b 分

割,那么1∆与2∆联合起来构成了[,]a b 的分割∆. 于是

||||0

1

()lim

()n

b i

i

a

i f x dx f x

ξ∆→==∆∑⎰

1

2

121122||||0

||||0

1

1

lim

()lim

()n n i

i i

i i i f x f x ξ

ξ

∆→∆→===∆+∆∑∑

()()c

b a

c

f x dx f x dx =+⎰⎰

(2) 若a b c <<,有

()()()c b c

a

a

b

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰

于是

()()()b c c

a

a

b

f x dx f x dx f x dx =-⎰

⎰⎰

()()c b

a

c

f x dx f x dx =+⎰⎰.

(3) 若c a b <<,同(2)可证. 由此可知

如图由定积分的几何意义知：

132()b

a

f x dx S S S =+-⎰

()()()c d

b

a

c

d

f x dx f x dx f x dx =-

+

⎰⎰

⎰

.

【性质4】若被积函数()1f x ≡，则

1b

b

a

a

dx dx b a ∆

==-⎰

⎰.

证明：

||||0

||||0

1

1

lim

()lim

n

n

b i

i

i

a

i i dx f x

x

ξ∆→∆→===∆=∆∑∑⎰

||||0

lim ()b a b a ∆→=-=-.

【性质5】若()0,[,]f x x a b ≥∈,则

()0b a

f x dx ≥⎰

.

注：若()f x 在[,]a b 连续、非负且不恒为零,则