第五章 微分方程模型

且阻滞作用随人口数量增加而下降
假设
r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
阻滞增长模型(Logistic模型)
r ( xm ) 0
dx rx dt
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
模型建立与求解 按照malthus理论，在t到t+ t时间内人口的净增长率 净增长率=出生率-死亡率= x(t t ) x(t ) 净相对增长率=净增长率/x(t ) =r

t
x(t t ) x(t ) ( x(t t ) x(t )) / t rx (t ) r t x(t ) dx rx, x (0) x0 令 t 0 得 dt
dx x r ( x ) x rx (1 ) dt xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx/dt x xm xm/2 O
xm/2
xm x
x (t )
xm xm 1 ( 1) e rt x0
x0 O
S形曲线 x增加先快后慢
t
Logistic 模型的应用
• 种群数量模型 (鱼塘中的鱼群, 森林中的树木). • 经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量).
• 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.
• 可用于短期人口增长预测. • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律. • 不能预测较长期的人口增长过程. 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
阻滞增长模型——逻辑斯蒂(Logistic)模型
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,
500 400 300 200 100 0 0
全部数据
12
5
10
15
20
25
阻滞增长模型
dx x rx(1 ) dt xm
x (t ) xm xm 1 ( 1) e rt x0
dx / dt x r y , s x xt xm
y r sx
全部数据
部分数据
根据最新的第六次全国人口普查数据显示：中国现有人口 13.7亿（2011年）
研究人口变化规律 做出较准确的预报
建立人口数学模型 控制人口过快增长
指数增长模型——马尔萨斯1798年提出
常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口
k
xk x0 (1 r )
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 人口数是关于时间t的连续变量 符号说明 : 在t时刻人口数为x(t),净相对增长率为r, 记初始时刻t=0时的人口数为x0，记x(0)=x0
人口增加10亿的时间，有一百年缩短为30年或者十几年； 根据美国人口调查局的估计，截至到2013年1月4日，全世 界有70.57亿人。 人口的迅速增加和环境的急剧恶化，人类猛然醒悟，开始 研究人口与自然的关系，人口的变化规律以及如何进行人 口控制等问题
中国人口增长概况
年份 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
第五章
微分方程模型
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程. • 分析对象特征的变化规律. • 预报对象特征的未来性态.
• 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 . • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
rt x( t ) x 0 e
rt x( t ) x 0 e
与常用公式的一致
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
常用的计算公式是指数增长模型的离散形式 结果分析 随着时间增加，人口按指数规律无限增长.
?
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.
dx / dt x r y , s x xt xm
y r sx
r =0.25164/10年，s =-6.56235E-4, xm=383.46
x (t )
xm xm 1 ( 1) e rt x0
r =0.25164/10年， xm=383.46 ;x0=3.9
350 300 250 200 150 100 50 0 0 7 14 21
y rt a
y ln x, a ln x0
y rt a
部 分 数 据
r =0.27432/10年，a =1.43233
r =0.27432/10年，x0 =expቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa)=4.1884
y rt a
全 部 数 据
r =0.20219/10年，a =1.79923
r =0.20219/10年，x0 =exp(a)=6.04499
模型的参数估计、检验和预报
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm . 由统计数据用线性最小二乘法作参数估计 rt x ( t ) x e y ln x, a ln x0 y rt a 指数增长模型 0 例：美国人口数据(百万)
r =0.27432/10年， x0 =exp(a)=4.1884
r =0.20219/10年， x0 =exp(a)=6.04499
x(t ) x0ert
部 分 数 据 全 部 数 据
x(t ) x0ert
部分数据
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10
内容
5.1 传染病模型
5.2
5.3
经济增长模型
正规战与游击战
5.4
5.5 5.7
药物在体内的分布与排除
香烟过滤嘴的作用 烟雾的扩散与消失
5.6 人口的预测和控制 5.8 万有引力定律的发现
5.6 人口的预测和控制
背景
世界人口增长概况
年份 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
模型的参数估计、检验和预报
• 为作模型检验在参数估计时未用2000年实际数据 用模型计算2000年美国人口 x(2000) x(1990) x 与实际数据比较 x(1990) rx(1990)[1 x(1990 ) / xm ] (2000年281.4) =274.5 误差约2.5% • 预报美国2010年人口 r=0.2490，xm=434.0 x(2010)=306.0 美国人口普查局2010年12月21日公布：截止到2010年 4月1日美国总人口为3.087亿. 预报误差不到1%！