z变换的收敛域
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所谓比值判定法就是说若有一个正项级 数
n=∞
∑ a ，令它的后项与前项的比值等于 ρ ，即
∞ n
an+1 lim =ρ n→∞ a n
ρ <1,级数收敛 。 ρ >1,级数发散 。 ρ =1,不能肯定 。
2) 根值判定法
根等于 ρ 所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次 所谓根值判定法，
lim n an = ρ
n=∞
x(n)zn ∑
∞
已知两序列分别为x u(n)， (n)=例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)，x2(n)=u(- 1)，分别求它们的z变换， anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确定它们 的收敛域。 的收敛域。 解： X1(z) = ZT(x1(n)) = ∑an zn
n=0 ∞
ρ <1,级数收敛 。 ρ >1,级数发散 。 ρ =1,不能肯定 。
n→∞
下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题 下面利用上述判定法讨论几类序列的z
三、几类序列的收敛域
有限长序列（有始有终序列） 1、 有限长序列（有始有终序列） 这类序列只在有限的区间具有非零的有限值 (n1 ≤ n ≤ n2 ) 此 n 时z变换为 X (z) = x(n)zn n ≤n≤n
根据级数的理论， 根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满 足绝对可和条件， 足绝对可和条件，即要求
n=∞
∑| x(n)z
∞
n
|< ∞
可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定 可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定 —— 法和根值判定法。 法和根值判定法。
二、两种正项级数收敛性的判别方法
1）比值判定法
n
X (z) =
n=∞ 1
n=∞
∑x(n)z
+ ∑x(n)zn
n=0
∞
j Im ] [z
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 > Rx1
Re[z]
Rx2 > Rx1
Rx2 < Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
求序列x[n]=a u[n]- u[- 1]的 例2：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变 并确定收敛域（ a>0）。 z变换的收敛域 § 7.3 z变换的收敛域
主要内容
收敛域的定义 收敛域的定义 两种正项级数收敛性的判别方法 两种正项级数收敛性的判别方法 几种常见序列的z变换收敛域问题 几种常见序列的z 几种常见序列的
重点：几种常见序列的z变换收敛域问题 重点：几种常见序列的z
一、收敛域的定义
对于任意给定的序列x(n)， 对于任意给定的序列x(n)，能使 X(z) = x(n) 收敛的所有z 值之集合为收敛域。（ 。（Region of 收敛的所有z 值之集合为收敛域。（ convergence简称 简称ROC） 简称 ） 与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换 与拉氏变换的情况类似，对于单边变换， 式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。 式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换 时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同 一个变换式。下面举例说明以上情况。 一个变换式。下面举例说明以上情况。
n=n1
2
∑
1
2
当 n 1< 0, n 2> 0 时， 收敛域为 0 < z <∞ 当 n 1≥ 0, n 2> 0时， 收敛域为
x [n] n1 n2 n
X
z >0
X
当 n 1< 0, n 2≤ 0 时， 收敛域为 z < ∞
右边序列: 2、右边序列:只在 n ≥ n 区间内，有非零的有限值的 1 区间内， 序列 x(n) ∞ X (z) = ∑x(n)zn n1 ≤ n ≤ ∞
x[n] = anu[n] bnu[n 1] = x1[n] + x2[n]
∞
由例1的结果可直接得到： 由例1的结果可直接得到：
z X1(z) = ∑ x1[n]z = z a n=∞ ∞ z n X2 (z) = ∑ x2[n]z = z b n=∞
n
( z >a)
( z <b)
因为b>a, 这样得到 因为b>a,
a +b 2z(z ) z z 2 X (z) = X1(z) + X2 (z) = + = z a z b (z a)(z b)
a < z <b
a +b 2z(z ) 2 X (z) = (z a)(z b)
jIm(z)
a < z <b
a
× ×
b
Re(z)
思考题
1. 不同的序列可以得到相同的z变换式吗？ 不同的序列可以得到相同的z变换式吗？ 2. 判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ 判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ 3. 序列的形式与双边z变换收敛域的关系？ 序列的形式与双边z变换收敛域的关系？
z<a
由上可知，不同的x(n)的 变换，由于收敛域不同， 由上可知，不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同， x(n) 可能对应于相同的z 变换，故在确定z变换时， 可能对应于相同的z 变换，故在确定z变换时，必须指 明收敛域。在收敛域内，z变换及它的各阶导数是连续 明收敛域。在收敛域内， 函数。也就是说， 函数。也就是说，z变换函数是收敛域内每一点上的解 析函数。 析函数。
n=n1
lim
n
n→∞ n→∞
x(n)z
n
<1
lim n x(n) = Rx1 < z z > Rx1
为收敛半径. 可见, 其中 Rx1 为收敛半径 . 可见 , 右边序列的收敛域是半 径1 Rx 的圆外部分。 的圆外部分。
X (z) = ∑x(n)zn
n=n1
∞
n1 ≤ n ≤ ∞
(1) n1<0 n2=∞
n=∞
n2
∞ ≤ n ≤ n2
z < Rx2
(1)n1=-∞ n2>0
0 < z < Rx2
Rx 2
(2)n1=-∞
z < Rx2
n2<0
Rx 2
双边序列： 区间内， 4、双边序列：只在 ∞ ≤ n ≤ ∞区间内，有非 零的有限值的序列 x(n)
X (z) = x(n)zn ∑
∞
∞ ≤ n ≤ ∞
Rx1 < z < ∞
z > Rx1
(2) n1>0 n2=∞
z > Rx1
因果序列是一种特殊的右边序列， 因果序列是一种特殊的右边序列，收敛域为 z > Rx1
3、左边序列：只在 n ≤ n2区间内，有非零的有限值 左边序列： 区间内， 的序列 x(n) n2 X (z) = ∑x(n)zn ∞ ≤ n ≤ n2
X (z) =
n=∞ m=n ∞
m=n2
x(m)zm = ∑
n
n=m
n=n2
x(n)zn ∑
n
∞
lim
n
n→∞
x(n)z <1 1
lim
n→∞
x(n) < z
1
z<
lim n x(n)
n→∞
= Rx2
可见，左边序列的收敛域是半径为R 的圆内部分。 可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。
X (z) = ∑x(n)zn
如果|z|>a, 则上面的级数收敛，这样得到 如果|z|>a, 则上面的级数收敛，
X1(z) = ∑an zn =
n=0 ∞
1 z = 1 az1 z a
1 n=∞
z>a
X2 (z) = ZT(x2 (n)) = ∑(an )zn
= ∑an zn =1 ∑(a1z)n
n=1 n=0 ∞ ∞
1 z = 1 = 1 1 a z z a
n=∞
∑ a ，令它的后项与前项的比值等于 ρ ，即
∞ n
an+1 lim =ρ n→∞ a n
ρ <1,级数收敛 。 ρ >1,级数发散 。 ρ =1,不能肯定 。
2) 根值判定法
根等于 ρ 所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次 所谓根值判定法，
lim n an = ρ
n=∞
x(n)zn ∑
∞
已知两序列分别为x u(n)， (n)=例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)，x2(n)=u(- 1)，分别求它们的z变换， anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确定它们 的收敛域。 的收敛域。 解： X1(z) = ZT(x1(n)) = ∑an zn
n=0 ∞
ρ <1,级数收敛 。 ρ >1,级数发散 。 ρ =1,不能肯定 。
n→∞
下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题 下面利用上述判定法讨论几类序列的z
三、几类序列的收敛域
有限长序列（有始有终序列） 1、 有限长序列（有始有终序列） 这类序列只在有限的区间具有非零的有限值 (n1 ≤ n ≤ n2 ) 此 n 时z变换为 X (z) = x(n)zn n ≤n≤n
根据级数的理论， 根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满 足绝对可和条件， 足绝对可和条件，即要求
n=∞
∑| x(n)z
∞
n
|< ∞
可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定 可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定 —— 法和根值判定法。 法和根值判定法。
二、两种正项级数收敛性的判别方法
1）比值判定法
n
X (z) =
n=∞ 1
n=∞
∑x(n)z
+ ∑x(n)zn
n=0
∞
j Im ] [z
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 > Rx1
Re[z]
Rx2 > Rx1
Rx2 < Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
求序列x[n]=a u[n]- u[- 1]的 例2：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变 并确定收敛域（ a>0）。 z变换的收敛域 § 7.3 z变换的收敛域
主要内容
收敛域的定义 收敛域的定义 两种正项级数收敛性的判别方法 两种正项级数收敛性的判别方法 几种常见序列的z变换收敛域问题 几种常见序列的z 几种常见序列的
重点：几种常见序列的z变换收敛域问题 重点：几种常见序列的z
一、收敛域的定义
对于任意给定的序列x(n)， 对于任意给定的序列x(n)，能使 X(z) = x(n) 收敛的所有z 值之集合为收敛域。（ 。（Region of 收敛的所有z 值之集合为收敛域。（ convergence简称 简称ROC） 简称 ） 与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换 与拉氏变换的情况类似，对于单边变换， 式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。 式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换 时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同 一个变换式。下面举例说明以上情况。 一个变换式。下面举例说明以上情况。
n=n1
2
∑
1
2
当 n 1< 0, n 2> 0 时， 收敛域为 0 < z <∞ 当 n 1≥ 0, n 2> 0时， 收敛域为
x [n] n1 n2 n
X
z >0
X
当 n 1< 0, n 2≤ 0 时， 收敛域为 z < ∞
右边序列: 2、右边序列:只在 n ≥ n 区间内，有非零的有限值的 1 区间内， 序列 x(n) ∞ X (z) = ∑x(n)zn n1 ≤ n ≤ ∞
x[n] = anu[n] bnu[n 1] = x1[n] + x2[n]
∞
由例1的结果可直接得到： 由例1的结果可直接得到：
z X1(z) = ∑ x1[n]z = z a n=∞ ∞ z n X2 (z) = ∑ x2[n]z = z b n=∞
n
( z >a)
( z <b)
因为b>a, 这样得到 因为b>a,
a +b 2z(z ) z z 2 X (z) = X1(z) + X2 (z) = + = z a z b (z a)(z b)
a < z <b
a +b 2z(z ) 2 X (z) = (z a)(z b)
jIm(z)
a < z <b
a
× ×
b
Re(z)
思考题
1. 不同的序列可以得到相同的z变换式吗？ 不同的序列可以得到相同的z变换式吗？ 2. 判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ 判别正项级数的收敛性的方法有哪些？ 3. 序列的形式与双边z变换收敛域的关系？ 序列的形式与双边z变换收敛域的关系？
z<a
由上可知，不同的x(n)的 变换，由于收敛域不同， 由上可知，不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同， x(n) 可能对应于相同的z 变换，故在确定z变换时， 可能对应于相同的z 变换，故在确定z变换时，必须指 明收敛域。在收敛域内，z变换及它的各阶导数是连续 明收敛域。在收敛域内， 函数。也就是说， 函数。也就是说，z变换函数是收敛域内每一点上的解 析函数。 析函数。
n=n1
lim
n
n→∞ n→∞
x(n)z
n
<1
lim n x(n) = Rx1 < z z > Rx1
为收敛半径. 可见, 其中 Rx1 为收敛半径 . 可见 , 右边序列的收敛域是半 径1 Rx 的圆外部分。 的圆外部分。
X (z) = ∑x(n)zn
n=n1
∞
n1 ≤ n ≤ ∞
(1) n1<0 n2=∞
n=∞
n2
∞ ≤ n ≤ n2
z < Rx2
(1)n1=-∞ n2>0
0 < z < Rx2
Rx 2
(2)n1=-∞
z < Rx2
n2<0
Rx 2
双边序列： 区间内， 4、双边序列：只在 ∞ ≤ n ≤ ∞区间内，有非 零的有限值的序列 x(n)
X (z) = x(n)zn ∑
∞
∞ ≤ n ≤ ∞
Rx1 < z < ∞
z > Rx1
(2) n1>0 n2=∞
z > Rx1
因果序列是一种特殊的右边序列， 因果序列是一种特殊的右边序列，收敛域为 z > Rx1
3、左边序列：只在 n ≤ n2区间内，有非零的有限值 左边序列： 区间内， 的序列 x(n) n2 X (z) = ∑x(n)zn ∞ ≤ n ≤ n2
X (z) =
n=∞ m=n ∞
m=n2
x(m)zm = ∑
n
n=m
n=n2
x(n)zn ∑
n
∞
lim
n
n→∞
x(n)z <1 1
lim
n→∞
x(n) < z
1
z<
lim n x(n)
n→∞
= Rx2
可见，左边序列的收敛域是半径为R 的圆内部分。 可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。
X (z) = ∑x(n)zn
如果|z|>a, 则上面的级数收敛，这样得到 如果|z|>a, 则上面的级数收敛，
X1(z) = ∑an zn =
n=0 ∞
1 z = 1 az1 z a
1 n=∞
z>a
X2 (z) = ZT(x2 (n)) = ∑(an )zn
= ∑an zn =1 ∑(a1z)n
n=1 n=0 ∞ ∞
1 z = 1 = 1 1 a z z a