第5章测量误差的基本知识091023

三、测量误差的分类
根据观测误差的性质可分为：系统误差、偶然误 差
1.系统误差（又称累积误差） 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈
现出以下特性 ： 误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化； 误差在正负号保持不变； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。
例如 钢尺：尺长、温度、倾斜改正 水准仪：i角误差 经纬仪：c角(视准轴误差)、 i角(横轴误差)
n
n
为该量的最可靠的数值，称为“最或是值”。
证明：设某量的真值为X，各次观测值为l1，l2……ln，
相应的真误差为 1，2， ，n ，则 1 l1 X ...2 l2 X
n ln X
相加并除以n得 [] [l] X
nn
X [l] [] x x nn
式中： x 为算术平均值，即 x l1 l2 ln [l]
my
( f )2 D
mD 2
( f
)2
m
2
测得： D 225.85 0.06m
1570030 20
sin 2
mD 2
(D
cos
)2
(
m
"
)2
求： y 的中误差 my
解： f sin
D
f D cos
(0.391)2 (6)2 (225.85)2 (0.920)2 ( 20" )2 206265"
[例6-2]
已知：D1=100m, D2=200m,
求：K1, K2
m1=±0.01m m2=±0.01m
解：
K1
m1
D1
0.01 100
1 10000
K2
m2
D2
0.01 200
1 20000
第三节 误差传播定律 一、误差传播定律 在间接观测的情况下，未知量的中误差和观测值
中误差之间必有一定的关系，阐述这种关系的定律为 误差传播定律。
为相对中误差、相对闭合差、相对真误差及相对容许误差。
与相对误差相对应，中误差、极限(容许)误差、真误
差等称为绝对误差。
较差率
在距离量测中，常用往返测量结果的较差率来进行检
核。 较差率为：
D往 D返 D 1
D平均
D平均 D平均
D
一般情况角度，高差用中误差m作为衡量精度的标准； 量距用相对误差K作为衡量精度的标准。
2.偶然误差（又称补偿误差）
在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的
观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没
有表现出一致的倾向，即没有任何规律性，这类误差
称为偶然误差。
偶然误差的特性
在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一
定的限度；(有界性)
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要
多；(密集性、区间性)
10
10
因 m甲 m乙，故认为甲组观测值的精度较乙组高。 这是因为乙组的观测值中有较大误差出现。
因为中误差能明显反映出误差对测量成果可靠程 度的影响，所以成为测量中广泛采用的一种平的精度 的指标。
二、极限误差（容许误差） 定义：由偶然误差的特性知，在一定的观测条件下，
偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是 极限误差。通常以2倍中误差为真误差极限误差的估值。
解： m m 2 m 2 (3.5)2 (6.2)2 7.1"
五、一般函数的中误差
一般函数：Z f ( X1, X 2 , , X n ) ，则有
mZ
( f X 1
)2
m12
( f X
2
)2
m2 2
( f X n
)2
mn 2
误差传播定律的一般形式。
[例6-6] 函数式：y Dsin
3. 写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式
mZ2
(
f x1
)2
m12
(
f x2
)
2
m22
(
f xn
)
2
mn2
4. 计算观测值函数中误差
第四节 算术平均值及其中误差
一、算术平均值(最或然值)
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，其
真值为X 观测值为L1、L2……Ln，其算术平均值为：
x l1 l2 ln [l]
观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差 乘常数。 [例6-3]
在1:500地形图上量得某两点间的距离d=234.5mm， 其中误差md=±0.2mm，求该两点的地面水平距离D的值 及其中误差mD。
解： D 500d 500 0.2345 117.25m
mD 500md
500 0.0002
真误差＝观测值－真值，即 i Li X (i=1， 2，…，n)
二、测量误差产生的原因
1.仪器误差 测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只 具有一定限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。
2.观测者感官的限制 由于观测者的视觉、听觉等感官 的鉴别能力有一定的局限,所以在仪器的安置、使用中 会产生误差，如整平误差、照准误差、读数误差等。
0.10m
三、和(差)函数的中误差
和差函数： Z X1 X 2 且X1、X2独立，则有 mZ 2 mX1 2 mX2 2
两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中 误差的平方和。
当Z是一组观测值X1、X2… Xn代数和(差)的函数时，
即
Z X1 X 2 ，XZn 的中误差的平方为：
若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n
站所得高差闭合差的容许误差。
解：水准测量每一站高差 hi ai bi (i 1,2...., n)
则每站高差中误差
m站 m读2 m读2 m读 2
2 2 2.8mm
观测n站所得总高差 h h1 h2 hn
则n站总高差h的中误差 m总 m站 n 2.8 nmm
若以三倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误 差为 容 3（ 2.8 n） 8.4 n 8 nmm
四、线性函数 线性函数 Z K1 X1 K2 X 2 Kn X n ，则有
mZ K12mX1 2 K22mX2 2 Kn 2mXn 2
[例6-5] 设对某一个三角形观测了其中α、β两 个角，测角中误差分别为mα=±3.5″，mβ =±6.2″， 现按公式γ=180°-α-β求得γ角，试求γ角的中 误差mγ。
一、测量误差的发现 对同一量多次观测，其观测值不相同，如：钢尺 量
距其往返丈量结果不同 观测值之和不等于理论值 平面三角形 α+β+γ≠180° 闭合水准 ∑h≠0
反映一个量真正大小的绝对准确的数值，称为这个 量的真值 X ；与真值相对而言，凡以一定的精确程度 反映一个量大小的数值，称为此量的近似值或估计值； 通过量测得到一个量的近似值，称为该量的观测值 Li 。 一个量近似值与真值的差，叫真误差 i 。
(50 0.02)2 (20 0.04)2
[例6-8]
mA 1.64 1.28(m)
已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角
α=15°00′00″±30″ 求：水平距离D 及其中误差
解：1.函数式 D Dcos ,
mD2 [(cos ) mD ]2 [(D sin ) m ]2
第五章 测量误差的基本知识
通过前面的学习，我们了解到在测 量的过程和结果中均有误差。本章主要 介绍测量误差的分类和处理方法，算术 平均值和衡量精度的标准，误差传播定 律等内容。
研究误差的目的：一是对带有误差的观 测值给予适当处理，以求其最可靠值；二是对 观测值的精度作出科学的评定。
第一节 测量误差的概述
误差区间： dΔ＝3″ 误差出现 的频率： k/n 若用图表 示，偶然 误差服从 正态分布
减弱的方法 观测值之间的离散程度称为观测值的精(密)度，它
主要取决于偶然误差的影响。 观测值的精度愈高，表示偶然误差的取值范围愈小，
观测值之间的差异或离散程度愈小。反之，表示观测值 的离散程度愈大，精度愈低。
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许 误差，即
容 2m 或 容 3m
作用：区别误差和错误的界限
三、相对误差
相对误差k是指误差与相应观测值D之比，通常以分
子为1的分式来表示，即
m k
1
D
D m
相对误差的分子也可以是中误差、闭合差(如量距往
返量测的两个结果的较差)、真误差或容许误差，分别称
绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相
互抵消
同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，
随着观测次数的增加而趋近于零，即
lim 1 2 n lim [] 0 式中[ ]表示求和(抵偿性)
n
n
n n
实例分析:对一个三角形三个内角进行观测，其和 L与真值180°的差值为真误差Δ，共观测了358个三角 形，可计算出358个真误差。按其大小和一定区间，统 计如下表：
mZ2
m2 X1
mX2 2
mX2 n
n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观 测值中误差平方之和。
在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差， 与观测值个数n的平方根成正比，即 mZ m n
[例6-4]
m读 2mm
已知水准仪距水准尺75m时，一次读数中误差为
(包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)，
分析：中误差小，观测精度高。中误差又称为均方 误差和标准差。
[例6-1] 已知：用甲乙两台仪器对同一角各观测十次，其真误
差为 甲组：3"，-2"，-1"，-4"，2"，4"，3"，2"，0"，-3" 乙组：1"，0"，1"，2"，-1"，0"，-7"，1"，-8"，3" 求：m甲，m乙
解：m甲 72 2.7 ，m乙 130 3.6
3.外界条件的影响 测量工作都是在一定的外界环境条 件下进行的，如温度、风力、大气折光等因素，这些 因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必 然给观测结果带来误差。
上述三个因素即仪器误差、观测者感官的限制、 外界条件的影响总称为观测条件。
观测条件相同的同类观测称为等精度观测；观测条件不相 同的同类观测称为不等精度观测。在观测值的处理上有所不同。
处理原则：多余观测，制定限差。 为了提高观测值的精度，通常对偶然误差采用如下 处理方法 ◆.提高仪器等级； ◆.进行多余观测； ◆.求平差值。 3.粗差(错误) 测错，记错，算错……。错误在测量成果中不允许 存在。处理原则：细心，多余观测。遵守操作规程、严 格检查制度，及时发现和纠正错误。
第二节 衡量精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常用中误差、 极限误差、相对误差作为评定精度的标准。
一、中误差（亦称标准差）
定义：在相同条件下，对某量(真值为X)进行n次
观测，观测值L1, L2， ……, Ln，偶然误差(真误 差)Δ1, Δ2, ……, Δn，则中误差m为：
m
n
式中： 21 22 23 ... 2n
5.5 4.1 3.1 (cm)
[例6-7]
已知：测量矩形的两边为：a=20.00±0.02m，b=50.00±0.04m 求：矩形面积A及其中误差mA 解：1.函数式 A=a×b=1000米2，2.全微分 dA=b·da+a·db 3.中误差式 mA2 (b ma )2 (a mb )2
消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系
统误差对观测值的准确度影响很大，但它们的符号和 大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的 措施消除或减弱其影响。
处理原则：找出规律，加以改正。
◆ 测定系统误差的大小，对观测值加以改正。 如： 钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。
◆ 校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。 ◆ 对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。
2.全微分 dD (cos)dD (Dsin) d
3.化为中误差
[(cos15o) 0.05]2 [(50 sin15o) 30]2
mD 0.048(m)
六、应用误差传播定律的基本步骤
1. 列出观测值函数的表达式
Z f (x1, x2 ,xn )
2.对函数Z进行全微分
f
f
f
Z (x1 ) x1 ( x2 ) x2 ( xn ) xn
n
n
x 为算术平均值的真误差，即 x []
n
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，
趋近于x 零，即
limx 0 n
n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。
即根据观测值的中误差去求观测值函数中误差 。 例：
ห้องสมุดไป่ตู้高差
h ab
（和差函数 ）
平均距离 实地距离
S平均＝
1 n
(S1
S2
Sn
)
（线性函数）
D M gd
(倍数函数）
三角边 坐标增量
……..
a b sin sin
x D cos
（一般函数） （一般函数）
二、倍数函数的中误差
倍数函数： Z KX 则有：mZ KmX