一个不等式的简证及拓展
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
２ Ｅ≤
＿
一
， 矗 １ …，
１＜ ２
，
～
所 ｒ ÷ 号 … －，Ｔ 号 当且 仅 当 ＡＡＢＣ为正 三角 形时 ， １ 式 取等 号 以 ＜ × × ×ｎ １ ＜ ３ 且 （）
，
尺 足
－ ｃ ｓ— － ＣｃＯｓ Ｃ Ａ 。 Ｂ —
。 丁 。
一
∞ 丁
一
ｃ。 ｓ 丁 ｏ
２１ ０ ０年 第 ７期
中学数 学 月刊
・３ ・ ９
圆
一
个 不 等 式 的简 证 及 拓 展
（ 徽省 利 辛县 第二 中学 安 ２ ６０ ） ３ ７ ０
ｆ ｌ） ￣＜ ＋
拓 展 ３ 对 于大 于 １ 的一切 自然数 ＂ 存在 大 ，
于 １的 自然 数 ｋ 使得 不 等式 ，
—
Ａ
－
Ｂ
一
，
（） １
．
×
× ．・× ．
．
本文 给 出 Ｅ ｌｒ ｕｅ 不等 式 的另一 个 三角 形式 的 加强： 定理 设 Ｒ， 分别为 ＡＡ ｒ ＢＣ的外 接圆半 径
及 内切 圆 半 径 ， 有 则 ：
因 Ｔ （× × × 萼 詈 此 。 鲁 丢 ）（ × ） ＜ ×
不 等式 成立 ：
＜ １ ）十 ） ． ＋ （ 告… ．
１ ＜抗
．
当且 仅 当 ＡＡ ＢＣ为 正三 角形 时 ， ２ 式 取 等号 （）
证 明 设 ＡＡ ＢＣ的 内角 ， Ｂ， Ｃ的对
边 分别 为 ｎ ６ ｃ 相应 边 上 的旁 切 圆 半于 １的一 切 自然数 ， 有如下
ＡＡ ＢＣ 的半 周长 为 ｐ， 积为 △ 面 ． ＋ ｒ ＝ ｃ —
ｐ一 ８
因 为
＋ 尘
一
ｐ— Ｃ
㈩√ ＜（ 专（ …・ △ ＋ ） ）十 ） ・ （ ＋ １ 南
（ ＋ ） ； ＜
略．
… 一
ｋ ＋） １ ） ＋ ） （ １ ＜（ ｎ － ＋ （
ｆ＋ ） 成 ． 石 ＜ 立
有兴 趣 的读 者 可 依 照上 述 方 法证 明 ， 文从 本
（ 吉（ 吉… ・ ＋ ）抗 ） ＋ ） 。 ＜ ＋ （ 证 设 明 一（ 言（ 吉 …・ ）＋ ） ‘ ＋ （ 丽 ，Ｔ 詈 詈 ． ． １） ＝ × ×・ ＋ 则 ． ×
王耀辉
《 字 教学 ｝ ０ ０年第 ２ 颞 ２１ 期第 ４ 页《 学 问 ７ 数 题 与解答 》中， ７ ３题 的证 明技 巧 性 高 ， 第 ８ 运算 量 大， 不易 掌握 ． 本文 给 出的证 明简捷 明快 ， 通 性 属 通法 ， 并且 可进 行拓展 延伸 ， 或许 对读 者有 一定 的 参考价 值． 题目 对 于 大于 １的一 切 自然数 ， 求证 ：
因 为
＜ ３ｎ ３
－
Ｅ ｌｒ ｕｅ 不等 式的另一个 三角形式 的加 强
朱 盛琪 （ 西省 商 南县 张 家 岗中学 ７ ６ ０ ） 陕 ２ ３ ０
５
一
４
一
９
，
＜ 了 ８＜ 百 ７
方雅敏、 李建 潮 老师在 文 ［ ］得到 如下结 果 ： １
Ｒ， 分 别 为 Ａ Ａ Ｃ 的外 接 圆半 径 及 内切 圆 ｒ Ｂ 半径 ， 则
× × － ×ｎ １ ｎ） … （ ２ × ３ 一 ， ３ ｎ ３ －
即 Ｔ＜ 故 原不等 式得 证．
拓展 １ 对 于 大于 １的一 切 自然数 ｎ 有 ，
Ｒ （ ＋ａ Ｂ ｔｚ ＋ １ Ａ ｔ ＋ａ Ｃ ｌ ａ ｎ ｎ ｎ １ ，
（） ２
．
√
１ ＋
Ａ ａｐ （ ｐ
— — — －
一
Ｐ — ａ’
ａ
。———
— 一
—
—
—
—
—
—
）
ａ
：：
＿
—
—
—
—
（ － ａ） ｐ
—
√ ＜ １了（ 六…一 ＋ ）十 ） １
所 以
堡 一
ｒ ＋ ｒ ６
＿
一
， 矗 １ …，
１＜ ２
，
～
所 ｒ ÷ 号 … －，Ｔ 号 当且 仅 当 ＡＡＢＣ为正 三角 形时 ， １ 式 取等 号 以 ＜ × × ×ｎ １ ＜ ３ 且 （）
，
尺 足
－ ｃ ｓ— － ＣｃＯｓ Ｃ Ａ 。 Ｂ —
。 丁 。
一
∞ 丁
一
ｃ。 ｓ 丁 ｏ
２１ ０ ０年 第 ７期
中学数 学 月刊
・３ ・ ９
圆
一
个 不 等 式 的简 证 及 拓 展
（ 徽省 利 辛县 第二 中学 安 ２ ６０ ） ３ ７ ０
ｆ ｌ） ￣＜ ＋
拓 展 ３ 对 于大 于 １ 的一切 自然数 ＂ 存在 大 ，
于 １的 自然 数 ｋ 使得 不 等式 ，
—
Ａ
－
Ｂ
一
，
（） １
．
×
× ．・× ．
．
本文 给 出 Ｅ ｌｒ ｕｅ 不等 式 的另一 个 三角 形式 的 加强： 定理 设 Ｒ， 分别为 ＡＡ ｒ ＢＣ的外 接圆半 径
及 内切 圆 半 径 ， 有 则 ：
因 Ｔ （× × × 萼 詈 此 。 鲁 丢 ）（ × ） ＜ ×
不 等式 成立 ：
＜ １ ）十 ） ． ＋ （ 告… ．
１ ＜抗
．
当且 仅 当 ＡＡ ＢＣ为 正三 角形 时 ， ２ 式 取 等号 （）
证 明 设 ＡＡ ＢＣ的 内角 ， Ｂ， Ｃ的对
边 分别 为 ｎ ６ ｃ 相应 边 上 的旁 切 圆 半于 １的一 切 自然数 ， 有如下
ＡＡ ＢＣ 的半 周长 为 ｐ， 积为 △ 面 ． ＋ ｒ ＝ ｃ —
ｐ一 ８
因 为
＋ 尘
一
ｐ— Ｃ
㈩√ ＜（ 专（ …・ △ ＋ ） ）十 ） ・ （ ＋ １ 南
（ ＋ ） ； ＜
略．
… 一
ｋ ＋） １ ） ＋ ） （ １ ＜（ ｎ － ＋ （
ｆ＋ ） 成 ． 石 ＜ 立
有兴 趣 的读 者 可 依 照上 述 方 法证 明 ， 文从 本
（ 吉（ 吉… ・ ＋ ）抗 ） ＋ ） 。 ＜ ＋ （ 证 设 明 一（ 言（ 吉 …・ ）＋ ） ‘ ＋ （ 丽 ，Ｔ 詈 詈 ． ． １） ＝ × ×・ ＋ 则 ． ×
王耀辉
《 字 教学 ｝ ０ ０年第 ２ 颞 ２１ 期第 ４ 页《 学 问 ７ 数 题 与解答 》中， ７ ３题 的证 明技 巧 性 高 ， 第 ８ 运算 量 大， 不易 掌握 ． 本文 给 出的证 明简捷 明快 ， 通 性 属 通法 ， 并且 可进 行拓展 延伸 ， 或许 对读 者有 一定 的 参考价 值． 题目 对 于 大于 １的一 切 自然数 ， 求证 ：
因 为
＜ ３ｎ ３
－
Ｅ ｌｒ ｕｅ 不等 式的另一个 三角形式 的加 强
朱 盛琪 （ 西省 商 南县 张 家 岗中学 ７ ６ ０ ） 陕 ２ ３ ０
５
一
４
一
９
，
＜ 了 ８＜ 百 ７
方雅敏、 李建 潮 老师在 文 ［ ］得到 如下结 果 ： １
Ｒ， 分 别 为 Ａ Ａ Ｃ 的外 接 圆半 径 及 内切 圆 ｒ Ｂ 半径 ， 则
× × － ×ｎ １ ｎ） … （ ２ × ３ 一 ， ３ ｎ ３ －
即 Ｔ＜ 故 原不等 式得 证．
拓展 １ 对 于 大于 １的一 切 自然数 ｎ 有 ，
Ｒ （ ＋ａ Ｂ ｔｚ ＋ １ Ａ ｔ ＋ａ Ｃ ｌ ａ ｎ ｎ ｎ １ ，
（） ２
．
√
１ ＋
Ａ ａｐ （ ｐ
— — — －
一
Ｐ — ａ’
ａ
。———
— 一
—
—
—
—
—
—
）
ａ
：：
＿
—
—
—
—
（ － ａ） ｐ
—
√ ＜ １了（ 六…一 ＋ ）十 ） １
所 以
堡 一
ｒ ＋ ｒ ６