感悟三次函数的中心对称性
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
。 ，
定 理 ２ 若 函数 （ ） ａ 。 ｚ 一 ｘ ＋ｋ 。 ＋ ＋ｄ（ 口
≠Ｏ ）有极值 ，则 它 的对 称 中心 是 两个 极 值 点 的
中点 ．
２（麦一ｏ而 厂 ）Ｙ， 一 ）
一
证 明 由厂 一 ３ｘ ＋２ 十Ｃ ０ △＝ ４ｂ ａ 如 一 （ （
３ｃ ａ ）＞ Ｏ ）的 两 根 为 ｚ ， ２得 ｌｚ ，
一 一
一 一
十 ＋
十 ＋
一
一
４３ ｂ
一
一
① 当 口＞ １时 ， — ２ １ 口＜一 １ 由 ｆ （ ＞ ０ ， ） ，
２ ｃ＋ ２ ｂ
，
解 得 ｚ＞ 一 １或 ｚ ＜ １ ２ ； — ａ
② 由 口一 １ １ ａ 时， —２
２（ ｆ
一
１ 则 ／（ ） （ ， 一 ｚ
证 明：
ห้องสมุดไป่ตู้
， ２或 ＝ ４时 ， ｌ 易证 ．
，： ３或 ，≥ ５时 ， ｌ ｚ 由上 知 口 ，２… ， 成等 １ａ ， ａ
比数 列 ， ｎ ， ， ， 也 成等 比数列 ， 公 比 故 … 口 口 且
均 为 ａ． ２
所 以 ａ ＋ ａ， … ＋ ａ ｌ ２ ＋
＋ ＋ ∞一 。ｂ＋ 誓０２ 筹一 一 ￣ ＋ ｘ ｏ
＋ 凹 。一 ０，
纱 ， 用这个 性质 ， 多 问题可 以简单 求解 ． 利 很
１ 三次 函数 的中心对 称性
所 以 ２厂（ 一 ） ｙ 一 ｏ： 厂（ ２ ～ ｂ— ｚ
。
ａ
６ａ
） ，
定理 １ 函数 ， ）一 船 。 ｂ ＋Ｃ （ ＋ ｘ。 Ｘ＋ｄ ａ （
口 ＋口 ＋ … ＋口 １・（ １一 ａ ） 。 ｎ
ａ２
设 Ａ 一 ｛ ，２ａ ，４ （ ＜ ａ ＜ ｎ ＜ ａ ） １口 ，３ａ ） １ ２ ３ ４，
则 口 口 ＞ 口口 ＞ 口 ， 以 ∈ Ａ， ∈ Ａ 且 。 所
“ ３ ａ ２
一
１＜
口３
＜
口２
＜ 口 ４，
所 以 ＝ ａ ， 一 ａ ， ａ ｚ ３故 ４＝ ａ ｎ ， Ａ ＝ ｚ３ 即 ＝ ＝
ａ３
口＋辛 口 ａ １口 ～ ’ … 口＋ ＋ Ｚ ２ ’ 。 一 ） ． （ 即 证 一
１一 ｎ ２
｛ ， ２ａ ，２ ３． １ ａ ，３ ａａ ）
）一 ２／ 一 ） （
＋ １ ≥ ０； ）
２（ 口＋６ 麦。２ ｂ￣ｄ 口 乏。２ Ｃ＋ｃ ）２ 一 （ ｔ （ － ） 一 一 ＋ ） －
一
③ 当 ｎ＜ １ ， —２ 时 １ ａ＞一１ 由 ／（ ） ０ ， ｚ＞ ，
。
２， 一 ） 帅 一 ｆ Ａ ｂ— ｚ ） （ （ ２
。
：
ｚ １十 ｚ２ 一 一
２ ｂ
’
ｚ１ ｘ２ 一
ｃ
。
２ 口 一 ａ ｓ （ ６ａ ｚ （ ５ａ ＋ ｄ — ［（ ） ＋６ 一 ） ＋ｃ一 ） ３
缸 一 门 。 ｄ － ａ 一 ｂ 一 （ ２ ｚ。 。 ６ 一 ｂ ） 一 （ ２
＋ ｂ ＋ Ｃ ｘ Ｘ＋ ｄ 口≠ ０ （ ）的 对 称 中 心 是 （ 一 ，
，（ 一 ） ． ）
证 明 设 函数 ，（ ） ａ 。 ｘ ＋ ＋ｄ ａ ｚ 一 ｘ ＋ｂ （
≠Ｏ ）的图象上 任一 点 （ 。 Ｙ ） ｚ ，。 ，
则Ｙ ０一 ａ ３ ｂ 凹 ０ ｄ ｘ ＋ ｘ ＋ ＋ ． 点 （ Ｏ Ｙ ） 于点 （ Ｘ 。 关 一 ， （ 厂 一 ） 对 称 的点 ） 为 （ ｂ 一 ２ —
≠ ０ ）是 中 心 对 称 图 形 ，其 对 称 中 心 是 （ 一 ，
ｆ（ － ） ． ）
即 （篓 Ｘ２（ ）Ｙ在（＝ 点一 ～ｏ， 麦一ｏ ，） 一 ）
。 ＋ 。 Ｃ ＋ Ｘ＋ ｄ ａ≠ Ｏ （ ）的图象 上． 由点 （ ， 。 。Ｙ ）的任 意性 ， 函数 ，（ ）一 ａ 。 得 ｚ ｘ
＝ ａ ｘ ＋． ） （ １ ｚ ） ３ ｌ ２ （ １ ２ Ｅｘ 十 ２ 一 ｘ ｚ ］十ｂ （ １ ７ ２ Ｅ ｘ
一 一
十一 ＋ 一 丝 一 船 ３ 如 一 ＋ ｒ 一 ， ＝ ｒ 十 Ｊ ） 一
２ ａ ７。 ９ ａ。 ３ ａ ～ 。 。 。
＋ Ｘ ） ２ １ ２ ＋ ｃｘ － ） ２ ２ 一 ｘ Ｘ ］ （ １ ２ ＋ ｄ ４
２ １ 第 ８期 ０ ０年
Ａ 一 口一 ２ ． ４ ２ ｃ ） （ ｂ ． ｂ
－
… …
中学数学 月 刊
４ ｂ
一
・ ７・ ３
２
ｎ
ｃ￣ ２ ）ａｄ 一 ＋
－ ｄ ４ －２
１ ｚ， ）
故 ／（ ）一ｚ ＋２ｘ＋２ 一１ （ ｚ 。 ａ ａ 一 ＋１ （ ）ｚ
＋ ２ ａ一 １ ． ）
— —
而 Ｌ ）的两极值 点 为 Ａ（ 。ｆ ｘ ） ， ｘ ， 厂 （ ｘ ， （ ） Ｂ（ ｚ
ｆｘ）， （ ２ ） 则
一
ｆ ｘ ） ｆ ｘ ）一 ａ ｉ ｘ ＋ 。 （ １ ＋ （２ ｘ ＋ｂ ｝ ＋ｄ＋ ｉ
。
） — ｃ 一 ｚ （
一 。 ）一 ｄ
＋ 妇 ； Ｃ。 ｄ ＋ ， ＋ Ｔ
当 ，≥ ５ ， ： ｛ ， ，。ａ ， ， ）ｎ＞ ｚ 时 Ａ １ ａ ｎ ，。 … 口 （
１ （ 面 已证 ） ）上 ．
此外 ， 我们 也 可 以运 用推 广后 的一般 结论 ， 再
去证 明本 题 的第 （ ）问． ２
当 咒一 ２ ３时 ， ， 易证 下仅 对 一 ４时作 简单
・
３ ・ ６
中学 数学月 刊
２ １ 第 ８期 ０ ０年
感 悟 三 次 函 数 的 中 心 对 称 性
钱 鹏 （ 苏省如 东县 马塘 中学 江 ２ ６０ ） ２ ４ １
一
兀 三 次 函 数 ，（ ）一 ａｃ ＋ ｂ ＋ ＋ ｄ（ ，。 ｘ Ｔ ． ａ
≠０ ）的最值 、 值 、 调 性 讨 论 较 多 ，但 对 于 三 极 单 次 函数 的图象 的 中心对称 性 则少 有 涉及 ．本文 通 过研 究 三次 函数 的图象 的 中心对 称 性 ，揭 开其 面
定 理 ２ 若 函数 （ ） ａ 。 ｚ 一 ｘ ＋ｋ 。 ＋ ＋ｄ（ 口
≠Ｏ ）有极值 ，则 它 的对 称 中心 是 两个 极 值 点 的
中点 ．
２（麦一ｏ而 厂 ）Ｙ， 一 ）
一
证 明 由厂 一 ３ｘ ＋２ 十Ｃ ０ △＝ ４ｂ ａ 如 一 （ （
３ｃ ａ ）＞ Ｏ ）的 两 根 为 ｚ ， ２得 ｌｚ ，
一 一
一 一
十 ＋
十 ＋
一
一
４３ ｂ
一
一
① 当 口＞ １时 ， — ２ １ 口＜一 １ 由 ｆ （ ＞ ０ ， ） ，
２ ｃ＋ ２ ｂ
，
解 得 ｚ＞ 一 １或 ｚ ＜ １ ２ ； — ａ
② 由 口一 １ １ ａ 时， —２
２（ ｆ
一
１ 则 ／（ ） （ ， 一 ｚ
证 明：
ห้องสมุดไป่ตู้
， ２或 ＝ ４时 ， ｌ 易证 ．
，： ３或 ，≥ ５时 ， ｌ ｚ 由上 知 口 ，２… ， 成等 １ａ ， ａ
比数 列 ， ｎ ， ， ， 也 成等 比数列 ， 公 比 故 … 口 口 且
均 为 ａ． ２
所 以 ａ ＋ ａ， … ＋ ａ ｌ ２ ＋
＋ ＋ ∞一 。ｂ＋ 誓０２ 筹一 一 ￣ ＋ ｘ ｏ
＋ 凹 。一 ０，
纱 ， 用这个 性质 ， 多 问题可 以简单 求解 ． 利 很
１ 三次 函数 的中心对 称性
所 以 ２厂（ 一 ） ｙ 一 ｏ： 厂（ ２ ～ ｂ— ｚ
。
ａ
６ａ
） ，
定理 １ 函数 ， ）一 船 。 ｂ ＋Ｃ （ ＋ ｘ。 Ｘ＋ｄ ａ （
口 ＋口 ＋ … ＋口 １・（ １一 ａ ） 。 ｎ
ａ２
设 Ａ 一 ｛ ，２ａ ，４ （ ＜ ａ ＜ ｎ ＜ ａ ） １口 ，３ａ ） １ ２ ３ ４，
则 口 口 ＞ 口口 ＞ 口 ， 以 ∈ Ａ， ∈ Ａ 且 。 所
“ ３ ａ ２
一
１＜
口３
＜
口２
＜ 口 ４，
所 以 ＝ ａ ， 一 ａ ， ａ ｚ ３故 ４＝ ａ ｎ ， Ａ ＝ ｚ３ 即 ＝ ＝
ａ３
口＋辛 口 ａ １口 ～ ’ … 口＋ ＋ Ｚ ２ ’ 。 一 ） ． （ 即 证 一
１一 ｎ ２
｛ ， ２ａ ，２ ３． １ ａ ，３ ａａ ）
）一 ２／ 一 ） （
＋ １ ≥ ０； ）
２（ 口＋６ 麦。２ ｂ￣ｄ 口 乏。２ Ｃ＋ｃ ）２ 一 （ ｔ （ － ） 一 一 ＋ ） －
一
③ 当 ｎ＜ １ ， —２ 时 １ ａ＞一１ 由 ／（ ） ０ ， ｚ＞ ，
。
２， 一 ） 帅 一 ｆ Ａ ｂ— ｚ ） （ （ ２
。
：
ｚ １十 ｚ２ 一 一
２ ｂ
’
ｚ１ ｘ２ 一
ｃ
。
２ 口 一 ａ ｓ （ ６ａ ｚ （ ５ａ ＋ ｄ — ［（ ） ＋６ 一 ） ＋ｃ一 ） ３
缸 一 门 。 ｄ － ａ 一 ｂ 一 （ ２ ｚ。 。 ６ 一 ｂ ） 一 （ ２
＋ ｂ ＋ Ｃ ｘ Ｘ＋ ｄ 口≠ ０ （ ）的 对 称 中 心 是 （ 一 ，
，（ 一 ） ． ）
证 明 设 函数 ，（ ） ａ 。 ｘ ＋ ＋ｄ ａ ｚ 一 ｘ ＋ｂ （
≠Ｏ ）的图象上 任一 点 （ 。 Ｙ ） ｚ ，。 ，
则Ｙ ０一 ａ ３ ｂ 凹 ０ ｄ ｘ ＋ ｘ ＋ ＋ ． 点 （ Ｏ Ｙ ） 于点 （ Ｘ 。 关 一 ， （ 厂 一 ） 对 称 的点 ） 为 （ ｂ 一 ２ —
≠ ０ ）是 中 心 对 称 图 形 ，其 对 称 中 心 是 （ 一 ，
ｆ（ － ） ． ）
即 （篓 Ｘ２（ ）Ｙ在（＝ 点一 ～ｏ， 麦一ｏ ，） 一 ）
。 ＋ 。 Ｃ ＋ Ｘ＋ ｄ ａ≠ Ｏ （ ）的图象 上． 由点 （ ， 。 。Ｙ ）的任 意性 ， 函数 ，（ ）一 ａ 。 得 ｚ ｘ
＝ ａ ｘ ＋． ） （ １ ｚ ） ３ ｌ ２ （ １ ２ Ｅｘ 十 ２ 一 ｘ ｚ ］十ｂ （ １ ７ ２ Ｅ ｘ
一 一
十一 ＋ 一 丝 一 船 ３ 如 一 ＋ ｒ 一 ， ＝ ｒ 十 Ｊ ） 一
２ ａ ７。 ９ ａ。 ３ ａ ～ 。 。 。
＋ Ｘ ） ２ １ ２ ＋ ｃｘ － ） ２ ２ 一 ｘ Ｘ ］ （ １ ２ ＋ ｄ ４
２ １ 第 ８期 ０ ０年
Ａ 一 口一 ２ ． ４ ２ ｃ ） （ ｂ ． ｂ
－
… …
中学数学 月 刊
４ ｂ
一
・ ７・ ３
２
ｎ
ｃ￣ ２ ）ａｄ 一 ＋
－ ｄ ４ －２
１ ｚ， ）
故 ／（ ）一ｚ ＋２ｘ＋２ 一１ （ ｚ 。 ａ ａ 一 ＋１ （ ）ｚ
＋ ２ ａ一 １ ． ）
— —
而 Ｌ ）的两极值 点 为 Ａ（ 。ｆ ｘ ） ， ｘ ， 厂 （ ｘ ， （ ） Ｂ（ ｚ
ｆｘ）， （ ２ ） 则
一
ｆ ｘ ） ｆ ｘ ）一 ａ ｉ ｘ ＋ 。 （ １ ＋ （２ ｘ ＋ｂ ｝ ＋ｄ＋ ｉ
。
） — ｃ 一 ｚ （
一 。 ）一 ｄ
＋ 妇 ； Ｃ。 ｄ ＋ ， ＋ Ｔ
当 ，≥ ５ ， ： ｛ ， ，。ａ ， ， ）ｎ＞ ｚ 时 Ａ １ ａ ｎ ，。 … 口 （
１ （ 面 已证 ） ）上 ．
此外 ， 我们 也 可 以运 用推 广后 的一般 结论 ， 再
去证 明本 题 的第 （ ）问． ２
当 咒一 ２ ３时 ， ， 易证 下仅 对 一 ４时作 简单
・
３ ・ ６
中学 数学月 刊
２ １ 第 ８期 ０ ０年
感 悟 三 次 函 数 的 中 心 对 称 性
钱 鹏 （ 苏省如 东县 马塘 中学 江 ２ ６０ ） ２ ４ １
一
兀 三 次 函 数 ，（ ）一 ａｃ ＋ ｂ ＋ ＋ ｄ（ ，。 ｘ Ｔ ． ａ
≠０ ）的最值 、 值 、 调 性 讨 论 较 多 ，但 对 于 三 极 单 次 函数 的图象 的 中心对称 性 则少 有 涉及 ．本文 通 过研 究 三次 函数 的图象 的 中心对 称 性 ，揭 开其 面