运筹学——.图与网络分析-最短路.

条件：所有的权数 lij 0
思路：逐步探寻。
v2 5
v4
9
v6
4
4
1 75
v1
6
4
5
v8
1
v3
7
v5
6
v7
v2 5
v4
9
v6
4
4
v1 (0)
1
75
5
v8
①
64
1
v3
7
v5
6
v7
下求 v1 到 v8 的最短路： 1）从 v1 出发，向 v8 走。首先，从 v1 到 v1 的距离为0，给 v1
标号（0）。画第一个弧。（表明已 v1标号，或已走出v1 ） 2）从 v1 出发，只有两条路可走 (v1, v2 ), (v1, v3) ，其距离为
vs , vt 为图中任意两点，求一条道路 ，使它是从 vs 到
vt 的所有路中总权最小的路。即：
最小。
L() lij (vi ,v j )
最短路算法中1959年由 Dijkstra （狄克斯特洛）提出的 算法被公认为是目前最好的方法，我们称之为 Dijkstra算
法。下面通过例子来说明此法的基本思想。
❖ 在图中寻找最小部分树的步骤：P153
（2）破圈法
① 在网络图中寻找一个圈。若不存 在圈，则已经得到最短树或网络不 存在最短树；
② 去掉该圈中权数最大的边；
反复重复 ① ② 两步，直到最 短树。
练习：用破圈法求出下图的最小部分树
v3 5
6
v1
17
v5
4
3
v6
5
v2
4
2 v4
v3
1
v1
5
v2
v5
3
v6
4
2 v4
图a
图b
最短路问题
最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优 化问题都可以使用这个模型，如设备更新、管道的铺设、 线路的安排、厂区的布局等。
最短路问题的一般提法是：设 G (V , E) 为连通图，图中
各边 (vi , v j ) 有权 lij ( lij 表示 vi ，v j 之间没有边）,
第6章 图与网络分析
本章内容重点
图的基本概念与基本定理 树和最小支撑树 最短路问题 网络最大流
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它 已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设， 输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的 合理布局等问题，都可以应用图论的方法， 简便、快捷地加以解决。
如图6-1所示：
端点，关联边，相邻 环，多重边，简单图 次，奇点，偶点，孤立点 链，圈，路，回路，连通图 完全图，偶图 子图，部分图
例1
2.树和最小支撑树
树图（简称树，记作T（V,E）） 在各种各样的图中，有一类图是十
分简单又非常具有应用价值的图，这就 是树。
2.1树的性质
性质1 任何树中必存在次为1的点。 性质2 具有n个顶点的树的边数恰好为
（n-1）条。 性质3 任何具有n个点、（n-1）条边的连通
图是树图。
2.2 图的最小部分树
❖ 如果G1是G2的部分图，则称G1是G2的部分树（或支撑树）。 树图的各条边称为树枝（假定各边均有权重），一般图 G2含有多个部分树，其中树枝总长最小的部分树，称为 该图的最小部分树（也称最小支撑树）
❖ 定理1 图中任一个点i，若j是与i相邻点中距离最近的， 则边[i,j]一定必含在该图的最小部分树内。
❖ 推论 把图的所有点分成V和 V 两个集合，则两集合之 间连线的最短边一定含在最小部分树内。
练习:写下图的树图
v3
v5
v1பைடு நூலகம்
v6
v2
v4
v3
v1
v2
v5
v6 v4
练习
❖ 用破圈法求出下图的一个树图。
V2
e1
e4
e7
V1
e3
V4 e8
V5
e2
e5
e6
V3
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去 掉边e3 。在剩下的图中，再取一个圈 （v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4 。再从圈 （v3,v4 v5,v3）中去掉边e6 。再从圈 (v1,v2,v5,v4,v3,v1 ）中去掉边e7，
这样，剩下的图不含圈，于是得到一个
支撑树，如下图所示。
v2
e1
v1
e8
e2
v3
v4
e5
2.3 避圈法和破圈法
（1）避圈法
❖ 从网络图中依次寻找权数较小的边， 寻找过程中，节点不得重复，即不得构 成圈。注意在找较小权数边时不考虑已 选过的边和可能造成圈的边。如此反复 进行，直到得到最短树或证明网络不存 在最短树。
引言
C
A
B
D
图1 a
引言
当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步者 如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。尽管试验者很多，但是都没有 成功。
为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽象成 图1b所示图形的一笔画问题。即能否从某一点开始 不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点。欧拉 在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形 中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一 笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。
引言
C
A
B
D
图1 b
1.图的基本概念与模型
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之 间的关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的 示意图。
例：公路或铁路交通图、管网图、通讯联络图等 各节点及联系的边。如果用点表示研究的对象，用 边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点 和边的集合
G={V,E} 式中：V—点的集合,E—边的集合
如果给图中的点和边赋以具体的含义和权数， 如距离、费用、容量等这样的图称为网络图。
用点和点之间的线所构成的图，反映实 际生产和生活中的某些特定对象之间的特定 关系。一般来说，通常用点表示研究对象用 点与点之间的线表示研究对象之间的特定关 系。由于在一般情况下，图中的相对位置如 何，点与点之间线的长短曲直，对于反映研 究对象之间的关系，显得并不重要，因此， 图论中的图与几何图，工程图等本质上是不 同的。
引言
随着科学技术的进步，特别是电子计 算机技术的发展，图论的理论获得了更进 一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂 的工程系统和管理问题用图的理论加以描 述，可以解决许多工程项目和管理决策的 最优问题。因此，图论越来越受到工程技 术人员和经营管理人员的重视。
引言
1736年瑞士科学家欧拉发表了 关于图论方面的第一篇科学论文， 解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。 德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔 河，河中有两个岛屿，河的两岸和 岛屿之间有七座桥相互连接，如图 1a所示。