无穷小与无穷大及四则运算

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一、 无穷小概念
1.无穷小的定义
如果当 x x（0 或 x ）时，函数f(x)的极限是零，那么称函 数f(x)当 x x（0 或 x ）时为无穷小。常用, ,表示
例 lim x3 27 0, x3 27是当x 3时为无穷小 . x3



，那么称是的低阶无穷小
(３) 如果 lim

c
(c 0)，那么称是的同阶无穷小
特别是当c=1时，即当
lim
1 时，则称与是
等价无穷小,记作：
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x2 lim 0,
x0 3x
而 sin 1 1, x
由性质（2）lim x 0
x sin
1 x

0.
1
例4
求极限
lim sin x. x x
解
因为 lim 1 0, x x
而sin x 1,
由性质（2） lim 1 sin x 0.
x x
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0 lim

xx0 f (x) A
xx0 g(x)
因式分解或分母有理化分解
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例6 解
求
2x2 3
lim
.
x 3x 2 1
2x2 3
2
lim
x
3x2
1

lim
x
3
3
x2 1
x2
3

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注意！
1 无穷大不是数,而是当 x x0 或x 时极限
为的函数,因此要把无穷大与很大 的数分开.
2 无穷大必须指明自变 量的变化趋向.
3 极限为，但极限仍然不存在。
简言之 ，极限为 无穷 的量叫做无穷大量.
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x1
x1 x 1
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训练：
当推出一种新的电子游戏程序时，其销售量与
时间的函数关系为
s(t)

t
200t 2 100
，t
为月份，
（1）请计算游戏推出后第6个月、第12个月和第三年的
销售量。
（2）请对该产品的长期销售做出预测。
x2 x3
lim(4
x
2 x2

3 x3
)
0 0. 4
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例8 求
x2 x 1
lim
.
x x 1
11
解
x2 x 1 lim x x 1
lim(1 )
x
xx
lim(3
x
x2 1
x2
)
)
2 .
3
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例7
求
3x2 x 2
lim
x
4x3

2x

3
.
解
3x2 x 2 lim
x 4x 3 2x 3
312
lim( )
x x
lim
x0
3x x2

,
2x 2 lim , x0 3x 3
lim sin x 1 x0 x
x2是比3x高阶的无穷小 3x是比x2低阶的无穷小 2x是比3x同阶的无穷小 sin x与x是等价无穷小
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1. lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B.
2. lim f ( x)g( x) lim f ( x) lim g( x) AB. (1) limcf ( x) c lim f ( x) cA (c为常数),
(2) lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
(2) 1 (x 1) x
lim 1 1 x1 x
1 是当
x
x 1 时不是无穷小
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简言之，极限为 0 的量叫做无穷小量。
(1) 无穷小与很小的数不能等同, 无穷小是变量. 零是可作为无穷小的惟一的常数一的常数.
）时为
记作
lim f (x)
xx0
( x)
如 lim 1 ,
称 1 是当 x 0 时的无穷大.
x0 x
x
lim 3n , 称 3n 是当 n 时的无穷大.
n
lim(x 1) , 称 x 1是当 x 时的无穷大.
x
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1.5
0.3 0.03 …
0.25 0.01 0.0001 …
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3、无穷小的比较
定义 设和是同一变化过程中的两个无穷小，
即lim =0和lim=0
(１)
如果
lim

0
，那么称是的高阶无穷小
(２)
如果 lim
例1.求lim(x sin x) x0
解:函数y x及y sin x都是x 0时无穷小,有性质1得
lim(x sin x) 0
x0
例2.求
lim (
n
1 n2

2 n2


n n2 )
解
:当n

时,
1 n2
,
2 n2
,
n n2
均为无穷小, 但
1
lim (
n
n
2
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二、无穷大的概念
观察f (x) 1 , 当 x 0时，| f ( x) | 无限增大
x
定义: 如果当 x x（0 或 x ）时，函数f(x)的绝对值无
限增大，那么称函数f(x)当 无穷大。
x

x 0（或x
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常用等价无穷小 :
～
～
～
～
～
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实例3
小王有本金A元，银行存款的年利率为 r， 不考虑个人所得税，按复利计算，小王第一 年末的本利和为A(1+r), 第二年末的本利和为 A(1+r) 2 ，…，第n年末的本利和为A(1+r) n ，那 么随着存款时间推移，本利和会如何变化？
lim 1 0, 函数 1 是当x 时为无穷小
x x
x
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例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。
(1) f (x) 0(x 3)
lim 0 0 x3
0是当 x 3 时为无穷小
解 lim x2
x2 ( x2 1 1) lim
x0 x2 1 1 x0 ( x2 1 1)( x2 1 1)
lim ( x2 1 1) 2 x0
小结:
lim
f (x)
A


B A
xx0 g(x)

0 0
0
直接计算
g(x) 0
f (x)
lim
例5： 当 x 0 时，x 2 , x,3x 都是无穷小，他们的积
仍为无穷小，那么它们的商是否也是无穷小呢？
并通过列表观察 x 2 , x,3x 趋向于零的速度。
lim x2 0, x0 3x
3x lim , x0 x 2
2x lim

2
x0 3x 3
x
1
3x
3
x2
1
0.5
0.1 0.01 …
x3
x3
9 1 10. 34
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例3 求 lim 3 x . x2 x 2
解 所以
因为
lim
x

2

lim( x
x2

2)

0,
x2 3x
lim 3 x
3x
x2
lim
.
x2 x 2
x2 9
例4
求
lim x3 x 3
解
x2 9
(x 3)(x 3)
lim
lim
lim(x 3)
x3 x 3
x3 x 3
x3
3 3 6.
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例5 求 lim x2 x0 x2 1 1
3. lim f ( x) lim f ( x) A g( x) lim g( x) B
(B 0)
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例1 求 lim( x 2 3x 2). x1
解 lim( x 2 3x 2) lim x 2 lim 3x lim 2
实例1
在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏 的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑 丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将 会如何变化？
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实例2
❖ 将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆 自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个 过程中，角的变化趋势如何？

2 n2


n n2 )

lim
n
n(n 1) 2n2

1 lim ( n 2

1) 2n

1 2
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(2) 有界函数与无穷小的积 仍为无穷小.
1
例3
求极限 lim x sin .
x0
x
解 因为lim x 0, x0
x1
x1
x1
x1
(lim x)2 3lim x 2 1 3 2 0
x1
x1
x2 1
例2
求
lim
.
x3 x 4
解
x 2 1 lim( x 2 1)
lim x3 x 4
x3 lim( x 4)
lim x 2 1 x3
lim x 4
x
0.5 0.1
0.01
x2 cosx 0.24919 0.00990 0.000000005 10000
… 0 …
？
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四、极限的四则运算法则
设 lim f (x) A, lim g(x) B, 则
时的销售量，即
lim 200t lim 200 0 t t 2 100 t t 100
t
上式说明当时间t 时，销售量的极限为0，即购 买此游戏的人会越来越少，人们转向购买新的游戏。
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引例
求 lim x2 cos x x0 10000
解：
(1)s(6)

200 6 62 100

1200 136

8.8235
s(12)

20012 122 100

2400 244

9.8361
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s(36)

200 36 362 100

5.1576
（2）随着时间的推移，该产品的长期销售应为时间t
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知识目标
1、理解无穷大与无穷小的概念 2、掌握无穷小的性质
能力目标
1、会用无穷小计算函数的极限 2、会将无穷小的数学概念与专业问题互译
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三、无穷小与无穷大的关系
在自变量的同一变化过 程中, 如果f ( x)为无穷大 , 则 1 为无穷小; 如果 f ( x)为无穷小, 且 f ( x) 0,
f (x) 则 1 为无穷大.
f (x)
无穷小与无穷大互为“倒数”.
例
lim( x 1) 0, lim 1 .
(2) 无穷小必须指明自变量 的变化趋向.
lim f ( x) 0
即若 xx0
，
lim f ( x) 0
x
则 f ( x)是当 x x0 时的无穷小。 x
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2.无穷小性质
（1）有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。
lim( )