正项级数敛散性的判别方法

正项级数敛散性的判别方法

摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用

1引言

数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。

2正项级数敛散性判别法

2.1判别敛散性的简单方法

由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数

1

n

n u

∞

=∑收敛

⇔0,,,,N N n N p N ε+∀>∃∈∀>∀∈有12n n n p u u u ε+++++

+<。取特殊的1p =，可

得推论：若级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，则lim 0n n u →∞

=。

2.2比较判别法

定理一（比较判别法的极限形式）： 设

1

n n u ∞=∑和1

n n v ∞

=∑为两个正项级数，且有lim

n

n n

u l v →∞=，于是

（1）若0l <<+∞，则

1n

n u

∞

=∑与

1

n

n v

∞

=∑同时收敛或同时发散。

（2）若0l =，则当

1

n

n v

∞

=∑收敛时，可得

1

n

n u

∞

=∑收敛。

（3）若l =+∞，则当

1

n

n v

∞

=∑发散时，可得

1

n

n u

∞

=∑发散。

正项级数敛散性的判别法在高等数学课本中所涉及的主要有：比较判别法、比值判别法和根植判别法。由于比值法与根值法的固定模式，其使用较为方便。但比较判别法在应用时，由于需要对原有级数进行适当的放缩，选择与之比较的对象级数，学生学习时都感到难度较人。

2.2.1当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时，将借助无穷小量(无穷大量)阶的概念来分析比较判别法的使用，进而给出如何选择比较对象的快捷方法。 由于lim 0n n u →∞

≠时，级数

1

n

n u

∞

=∑必发散。从而，只需考虑lim 0n n u →∞

=时，正项级数

1

n

n u

∞

=∑的敛

散性判别。借助“无穷小量阶的比较”，即无穷小量趋丁零速度的比较这一概念，上述的（1）、（2）、（3）可以等价理解为 （1）当0l <<+∞，即n u 与n v 是同阶无穷小量（n →∞）时，

1

n

n u

∞

=∑与

1

n

n v

∞

=∑同敛散。

（2）当0l =且

1

n

n v

∞

=∑收敛，即n u 是较n v 的高阶无穷小量（n →∞）时，必有

1

n

n u

∞

=∑收敛。

（3）若l =+∞且

1

n

n v

∞

=∑发散，即n u 是较n v 的低阶无穷小量（n →∞）时，可得

1

n

n u

∞

=∑发

散。

这表明正项级数收敛与否最终取决于其通项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。因此可以通过无穷小量(或者无穷大量)阶的比较，简化

1

n

n u

∞

=∑的通项n u 或对n u 进行适当放缩，进

而利用已知级数的敛散性来判别

1

n

n u

∞

=∑的敛散。

例1、判别级数21ln n n n ∞

=∑和1

2n n n

n ∞

=-∑的敛散性。

分析：在实际题目中，常见的无穷大量有ln n ，()()0,1a

n n a a a >>等。其发散的速度：

在n →∞时，()()ln 01a

n n n

a a a <<><<>。

从而，（1）()()()2221ln 11

,0,;2,1,2a a n

a a n n n n

a n a n n n n n n n

n

--<=>→∞<>→∞--。结合比较判别法的使用。故（1）中的比较对象

21a

n

-的a 的取值应保证21a ->，即01a <<。