双势垒中的隧道效应及其应用-王鑫(精)

双抛物线势场中的隧道效应
王 鑫
(陕西理工学院 物理系2007级物理学3 班 ，陕西 汉中 723000)
指导老师：王剑华
[摘要]量子力学中的隧道效应是一种重要的物理现象，有着非常广泛的应用. 本文从薜定谔方程出发,
讨论了求解双抛物线势场中的隧道效应，给出了相应的透射系数和反射系数，并对其进行讨论，研究其应用。

[关键词] 薜定谔方程与遂道效应；双抛物线势场中粒子的透射系数；双抛物线势场中粒子的透射系数；隧道效应及其应用
引言
在量子力学发展初期，德布罗意根据光的波粒二象性，提出了物质波假说，即认为微观粒子（电子、质子、中子等）也具有波动性。

由于微观粒子具有波动性因而它在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒，这种现象称为隧道效应，隧道效应完全是由于微观粒子具有波动的性质而来的。

1957年，江崎制成了隧道二极管，第一次令人信服地证实了固体中的电子隧道效应的存在。

1960年贾埃弗利用隧道效应测量了超导能隙，验证了超导理论。

1982年德国的宾尼等研制成功第一台扫描隧道显微镜，把隧道效应的应用推向一个新的阶段。

近几
年来，人们十分关注分子和半导体量子阱中双势的隧道效应问题研究[4-8]
，氨分子作为一个典型的三角锥形模型，早在1927年Hund 就提出量子隧道效应会对三角锥形分子的内部结构
有很大的调整作用[1]。

适当选择外部条件便可在不同程度上控制分子结构的稳定性。

近几年
来在介观尺度的隧道效应和光子隧道效应方面的研究日益成为热点[1-9]
，如在超导技术及纳
米技术方面的应用发展较为明显[3]。

本文就双抛物线的隧道效应问题求解并进行讨论[2-3]。

1 薛定谔方程与隧道效应
在量子力学中，微观体系的运动状态是用一个波函数来描写的，反映微观粒子运动规律的微分方程是()t r ,
ψ对时间的一阶微分方程，即:
ψ+ψ∇-=∂ψ∂)(22
2r U t i μ
(1.1) 我们称它为薛定谔方程（Schrödinger equation)，式中)r (U
是表征力场的函数。

如果作用在粒子上的力场是不随时间改变的，即力场是以势能)(r U
表征的，它不显含时间，这时
定态波函数所满足的方程为:
ψ=ψ+ψ∇-E r U )(22
2 μ
(1.3) 称为定态薛定谔方程（
，其中E 表示微观
粒子处于这个波函数所描写的状态时的能量，且其能量具有确定值。

设一个粒子，沿x 轴正方向运动，其势能为:
⎩⎨⎧=0)(0
U x U （2.1）
这种势能分布称为一维势垒。

如图2.1所示，故称方势垒。

虽然方势垒只是一种理想的情
况，但却是计算一维运动粒子被任意场散射的基础。

粒子在0x <区域内，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能超越势垒达到0x >的区域。

在量子力学中，情况则不一样。

为了讨论方便，我们把整个区域分为三个区域：Ⅰ()0x ≤，Ⅱ()0x a ≤≤，Ⅲ()x a ≥
图2.1 一维方型势垒
为了方便起见，将整个空间划分为三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区，则其定态薛定谔方程为
22
22
02
220 (0,),2()0(0).
d E x x a dx d E U x a dx μ
μ⎧ψ+ψ=≤≥⎪⎪⎨ψ⎪+-ψ=≤≤⎪⎩ (2.2) 当0U E >时，透射系数T ，反射系数为R
22
1222222212212
2222
122222222122124()sin 4()sin ()sin 4k k T k k k a k k k k k a R k k k a k k ⎧=⎪-+⎪⎨-⎪=⎪-+⎩
当0U E <时，只需令32ik k =即可，透射系数
)0(a x ≤≤ ),0(a x x ≥≤
（2.3）
（2.4）
22
132
22222
13313
4()4k k T k k sh k a k k =++ (2.5) 反射系数为
1R T =- (2.6)
如果粒子能量比势垒高度小得多，即0U E <<，同时势垒的宽度a 不太大，以致
13>>a k ，则a k a
k e e
33->> ，此时2
33a k e
a shk ≈
，于是
322
1322
2222131341()44
k a k k T k k e k k ≈
++ 3223131
1
1()116k a
k k e k k =
++ (2.7)
)(
1
3
31k k k k +为恒大于1的数值，当13>>a k 时432>>a k e 032(200U k a
T
T e
T e
μ-
--== (2.8)
当0E U >的时候，按照经典力学观点，在0E U >情况下，粒子应畅通无阻的全部通过势垒，而不会在势垒上发生反射。

而在微观粒子的情形，则会发生发射。

当0E U <的时候，从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数。

即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时在x a >区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入x a >区域。

粒子在
总能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为遂道效应。

其中22
130222
1316()
k k T k k =+ 它的数量级接近于1，所以透射系数随势垒的加宽或加高而减小。

由上面的结果我们可以看到，微观粒子被势垒散射有与宏观粒子完全不同的效应。

当一个宏观粒子的能量E 大于势垒高度0U 时，此粒子将通过区域（Ⅱ）而进入区域（Ⅲ）。

但是对于一个能量0U E >的微观粒子，不但有穿过势垒的可能，而且还有被反射的可能。

如果一个宏观粒子的能量0U E <，则当此粒子在区域（Ⅰ）内由左向右运动到达势垒边界时将被反射，所以粒子不可能穿过区域（Ⅱ）而进入区域（Ⅲ）。

但是对于一个0U E <的微观粒子却不然，它既有被反射的可能，也有穿透势垒而进入区域（Ⅲ）的可能，这种贯穿势
垒的效应称为隧道效应。

2 双抛物线势场中粒子的波函数
下面计算
x
α2- a b 0 c d α2
()()2
010220202() 20,() 02.
V V x x a V x a
V V x x a V x a αα⎧=-++-≤≤⎪⎪⎨⎪=--+≤≤⎪⎩
（4.1）
各个区域的薛定谔方程为
22222
2
2
222
2220
2,()0 20,()0 02,20 2.d E x d x d m x a n x d x
d m x a n x d x d E x d x
μ
αααμα⎧ψ+ψ=≤-⎪⎪ψ⎪+++ψ=-<≤⎪⎪⎨ψ⎪+-+ψ=<≤ψ+ψ=≤⎩⎪⎪⎪⎪ (4.2)
其中
m a U =2
202 μ n U E =-)(202 μ
令() x V E k 11(2-=μ () x V E k 22(2-=μ () x V E K 11(2--=μ () x V E K 22(2--=μ
如上图所示，假设粒子以一定的能量E 从左入射，碰到势垒V （x ），设V （x ）变化比
较缓慢，而且入射粒子能量E 不太靠近V （x ）的峰值，此时可以用W.K.B.法来处理粒子穿透势垒的现象。

按照经典力学，粒子在x=a 处被碰回，但按照量子力学，考虑到粒子的波动性，粒子有一定的几率穿透势垒。

当然，在许多情况下，这种几率是很小的。

现在我们就来计算双势垒穿透几率T 的大小。

在A 区远离a 处,由(3.6)式得波函数是
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
-⎰⎰+=ψa
x a
x
dx k i dx k i e
k A e
Ak 42
11'
42
11111ππ, (4.3)
在C 区远离b 处,由(3.6)式得波函数是
⎪⎭
⎫
⎝
⎛
---⎪⎭
⎫
⎝
⎛
--⎰⎰+=ψx
b x
b dx k i dx k i e
k B e
Bk 42
11'42
11311ππ , (4.4)
而根据连接关系(3.8),(3.9),则在区域B 中的W.K.B.近似解应为
⎰+⎰+⎰-⎰=ψ------b
x
b
x b
x
b
x dx K dx K dx K dx K e K iB e K B e iBK e BK 1111211'211'21121122
121
=⎰
⎰⎰⎰--------++-x a
x
a
x
a
x
a
dx K dx K dx K dx K e K iB e K B e iBK e BK 1
1
1
1
211'1211'2111211212
1ττ.
(4.5)
其中, ⎰
=b
a
dx
K e 11
τ.
利用a 处的连接公式(3.10),(3.11)在区域A 中的W.K.B.近似解(4.3)应为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛----=ψ⎰⎰--a
x a x k iBk dx k Bk 4cos 2)4sin(21112111112111πτπτ
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+--+⎰⎰--a
x a x k k iB dx k k B 4cos 2)4sin(211111'111211'πτπτ
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎰++-a
x dx k i e B B k i 1
)]221()221([211
'11211ττττ +⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎰--+-a x
dx k i e B B k i 1
)]221()221([211
'11211ττττ , (4.6)
同理,在D 区域的波函数为
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
⎰⎰+=ψc
x c
x dx k i dx k i e
k C e
Ck 42
1
1'42
1
1411ππ , (4.7)
在F 区域,远离d 处,由于只有投射波,没有反射波,所以,W.K.B 近似解为
⎪⎭
⎫
⎝
⎛
--⎰=ψx
d dx k i e
Dk 42
12
62π
=⎰⎰-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛---x d x d dx k iDk dx k Dk )4sin(4cos 2212212
ππ , (4.8)
由(3.8),(3.9) 则在区域E 中的W.K.B.近似解应为
⎰--⎰---=ψx c x c dx
K dx K e iDK e DK 2222121221252
1ττ.
(4.9) 其中, ⎰
=d
c
dx
K e 22
τ,
⎪⎭⎫ ⎝
⎛----=ψ⎰⎰--c
x c x k iDk dx k Dk 4cos 2)4sin(212122122122124πτπτ
⎰--+⎰-=-----c
x c
x dx k i dx k i e
k iD e k iD )
4(21222
)4(2122222)221(2)221(2ππττττ . (4.10) 利用波函数43,ψψ及其微商在x=0处的连续性得方程组并解之得 )221
(222ττα--
=i e iD B (4.11) )221(222
'
ττα+-
=-i e iD B (4.12) 其中)(
1
2
⎰⎰-=b
c
dx k dx k i α
3 双抛物线势场中粒子的透射系数
下面计算粒子在双抛物线势场中的透射系数。

2
'1111
111
[(2)(2)]222D
T B B ττττ=
-++
αττττττττττττ2cos )441
)(441(441618
2222
21212221222
1212
22221--+++++=
--(4.13)
反射系数
2
11
'1111
'11)221()221()221()221(ττττττττ++--++=
B B B B R ατττττττττττταττττττττττττ2c o s )441)(441(4416
12cos )441
)(441(441612
222
21212221222121222
2212222
21212221222
121222221--+++++--+-+++=
----
1T =- (4.14)
于是，有R+T=1
该式表示粒子透射概率与被反射概率之和等于1，是应该得到的合理结果.对于一维势垒散射问题，反射系数与透射系数之和等于1，这一结论具有普适性。

当()x V 2 =0时,即'
B =0 那麽
211)221(21ττ-=
B D
T ,2
11
11)221()221(ττττ-+=B B R . 由此可以看出,一组紧排的双抛物线势垒对微观粒子的散射不能看作各抛物线势垒独立
散射的简单组合，它们在各自左右界面上的反射是相干的.
4 原子钟
原子钟的频率标准就是利用氨分子（3NH ）基态势垒贯穿的震荡频率。

氨分子（3NH ）是一个棱锥体，N 原子在其顶点上，三个H 原子在基底。

如图所示：
如果在N 处，则由于隧道效应，可以穿过势垒而出现在'
N 点，当运动能量小于势垒高度如图中能级E 所示，
则N 原子的运动由两种形式组成。

1. R S -之间或T U -之间的震荡（谐振子）；
2 这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的震荡运动。

对于3NH 基态，第二种震荡频率为
102.378610z H ⨯。

这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。

5 结论
抛物线模型在物理、化学和分子生物学领域有着广泛的应用,例如在《结构化学》教科书中用抛物线模型来讨论分子的成键 ，抛物线模型在隧道效应中有着重要的意义. 本文就双抛物线的隧道效应问题进行了讨论.并且证明了一组紧排的双抛物线势垒对微观粒子的散射不能看作各抛物线势垒独立散射的简单组合，它们在各自左右界面上的反射是相干的.
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The Tunneling Effect within The Two Thing Line Power Field
Luxin
(Grade 04,Class2,Major physics，physics Dept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong
723000，Shaanxi)
Tutor: Wang Jianhua
Abstract:In the quantum mechanics tunnel effect is one important physical phenomenon, has the extremely widespread application This article first introduced Schrödinger equation, discussed in the square shape potential barrier tunnel effect, and square shape potential barrier in the tunnel effect has carried on the promotion, obtains in the arbitrary shape potential field the tunnel effect, finally discussed in the parabola potential field tunnel effect It can precise manifest the crystal neutron the potential energy change, further expands its application scope, further discovers its new nature
Key words:Schrödinger equation; Square power potential barrier; Parabola situation potential barrier ;Tunneling effect。