部件模态综合分析法

部件模态综合法
随着科学和生产的发展，特别是航空、航天事业的发展，越来越多的大型复杂结构被采用，这使得建模和求解都比较困难。

一方面，一个复杂结构势必引入较多的自由度，形成高维的动力学方程，使一般的计算机在内存和求解速度方面都难以胜任，更何况一般的工程问题主要关心的是较低阶的模态。

仅为了获取少数的几个模态，必须为求解高维方程付出巨大的代价也是不合适的。

另一方面，正是由于结构的庞大和复杂，一个完整的结构往往不是在同一地区生产完成的，可能一个结构的各个主要零部件不得不由不同的地区、不同的厂家生产。

而且由于试验条件的限制只能进行部件的模态实验，而无法对整体结构进行模态实验。

针对这些主要的问题，为了获得大型、复杂结构的整体模态参数，于是发展了部件模态综合法。

部件模态综合法又叫子结构耦合法。

它的基本思想是按工程观点或结构的几何轮廓，并遵循某些原则要求，把完整的结构进行人为抽象肢解成若干个子结构（或部件）；首先对子结构（或部件）进行模态分析，然后经由各种方案，把它们的主要模态信息（常为低阶主模态信息）予以保留，并借以综合完整结构的主要模态特征。

它的主要有点是，可以通过求解若干小尺寸结构的特征问题来代替直接求解大型特征值问题。

同时对各个子结构可分别使用各种适宜的数学模型和计算程序，也可以借助试验的方法来获得他们的主要模态信息。

对于自由振动方程在数学上讲就是固有（特征）值方程。

特征值方程的解不仅给出了特征值，即结构的自振频率和特征矢量——振兴或模态，而且还能使结构在动力载荷作用下的运动方程解耦，即所谓的振型分解法或叫振型叠加法。

因此，特征值问题的求解技术，对于解决结构振动问题来说吧，是非常重要的。

考虑阻尼的振型叠加法
振型叠加法的定义：将结构各阶振型作为广义坐标系，求出对应于各阶振动的结构内力和位移，经叠加后确定结构总响应的方法。

振型叠加法的使用条件：
∙（1）系统应该是线性的：线性材料特性，无接触条件，无非线性几何效应。

∙（2）响应应该只受较少的频率支配。

当响应中各频率成分增加时，例如撞击和冲击问题，振型叠加技术的有效性将大大降低。

∙（3）载荷的主要频率应在所提取的频率范围内，以确保对载荷的描述足够精确。

∙（4）由于任何突然加载所产生的初始加速度应该能用特征模态精确描述。

∙（5）系统的阻尼不能过大。

所以本种方法不适。

如果想在分析中模拟非线性，必须使用隐式动力程序对运动方程进行直接积分。

频率提取分析
频率提取分析的目的是得到结构的振型和固有频率，在使用各种振型叠加法进行线性动态分析时，都首先要完成频率提取分析。

有阻尼系统的自由振动：（粘性阻尼振动）
粘性阻尼的特点是阻尼力与运动速度成正比。

自由振动的运动微分方程为：
()()()0Mu t Cu t Ku t ++=
其中，12[,,,]T
N u u u u =…为广义位移向量，()Cu t 为粘性阻尼力。

M 为质量矩阵，K 为刚度矩阵。

M 质量矩阵的物理意义
因系统的动能 1=02
T T u Mu > 且有
2ij ji i j
T m m u u ∂==∂∂ 由此可见：（1）质量矩阵反映了系统的动能；（2）质量矩阵是正定的；（3）质量矩阵是对称矩阵。

K 刚度矩阵的物理意义
由于系统的弹性势能为
1=02
T U u Ku ≥ 且有
2ij ji i j
U k k u u ∂==∂∂ 由此可见：（1）刚度矩阵反映了系统的势能；（2）刚度矩阵是半正定的（对应于刚体位移，系统弹性势能为零）；（3）刚度矩阵是对称矩阵。

另外，可以证明刚度矩阵的逆是柔度矩阵，而且刚度矩阵反映了功的互等原理。

瑞利阻尼
实用中如果用实测手段来确定阻尼矩阵是相当困难的，通常是把阻尼矩阵假定为满足正交条件的某种形式，以下介绍一种常用的形式——瑞利阻尼。

瑞利阻尼是一种模拟阻尼的简单方法，它基于结构中刚度或质量的总量是总阻尼的一种度量。

瑞利阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，
C M K αβ=+
其中α和β是用户定义的常数。

尽管假设阻尼正比于质量和刚度没有严格的物理基础，但实际上我们对阻尼的分布知之甚少，也就不能保证使用更为复杂的阻尼模型是正确的。

一般来讲，这个模型对于大阻尼系统——也就是临界阻尼超过10%时，是失效的。

相对于其他形式的阻尼，可以精确地定义系统每阶模态的瑞利阻尼。

阻尼的选择
在大多数线性动力学问题中，恰当地定义阻尼对于获得精确的结果是十分重要的。

但是阻尼只是对结构吸收能量这种特性的近似描述，而不是去仿真造成这种效果的物理机制。

所以，确定分析中所需要的阻尼数据是很困难的。

有时，可以从动力试验中获得这些数据，但是在多数情况下，不得不通过经验或参考资料获得数据。

在这些情况下，要仔细地分析计算结果，应该通过参数分析来评价阻尼系数对于模拟的敏感性。

特征方程
对于一个多自由度系统，认为各个自由度上的运动都是互不相同的，但每个自由度上的运动都是在其各自平衡位置附近做简谐振动。

因此，运动微分方程式的解的形式为：
()cos()u t U t ωα=-
将上式代入式()()()0Mu t Cu t Ku t ++=（C M K αβ=+）得：
2()0K M U ω-=
上式即是所谓的代数特征问题。

对于式2
()0K M U ω-=要使U 有非零解，必须： 2det()0K M ω-=
即是特征方程。

记：
2λω=
则：
()p K M λλ=-
即是特征多项式。

求解特征方程或特征多项式以及代数特征值问题，是结构动力学最基本的、也是最重要的任务。

因为特征值问题的解反映结构振动系统内部最本质的固有特性，固有特性问题在数学上又叫本征值问题。

非线性动态分析
前面提到过，模态动力程序只适用于线性问题。

如果对非线性动力响应感兴趣，必须对运动方程进行直接积分。

在ABAQUS/Standard 中运动方程的直接积分由一个隐式动力程序来完成。

在使用这个程序时，在每个时间点上都要建立质量、阻尼和刚度矩阵并求解动力平衡方程。

由于这些操作的计算量很大，因此直接积分的动力分析要比模态方法昂贵。

由于ABAQUS/Standard 中的非线性动力程序采用隐式的时间积分，所以适用于求解非线性结构动力问题。

例如，某一突然事件（如冲击）激发的结构的动态响应，再例如由
于塑性或粘性阻尼造成大量的能量耗散的结构响应问题。

在这些问题中，高频响应由于模型的耗能机制而迅速地衰减，这一点对于振动初期是十分重要的。

当应力波在模型中传播时，显式算法是一次一个单元地扩展计算结果。

因此，这很适合于求解应力波的影响非常重要的问题以及所模拟的突发事件的持续时间很短（典型的是小于1秒）的问题。

和ABAQUS/Standard相比，显式算法的另一个优点是它能更容易地模拟非连续的非线性，例如接触和失效问题。

而大型、高度非连续性的问题，即使响应是准静态的，采用ABAQUS/Explicit一般的会很容易地予以模拟。

显式非线性动态分析
在前面的章节中，已经考察了显式动态程序的基本内容；在本章中，将对这个问题进行更详细的讨论。

显式动态程序对于求解广泛的、各种各样的非线性固体和结构力学问题是一种非常有效的工具。

它常常对隐式求解器是一个补充，如ABAQUS/Standard；从用户的观点来看，显式与隐式方法的区别在于：
•显式方法需要很小的时间增量步，它仅依赖于模型的最高固有频率，而与载荷的类型和持续的时间无关。

通常的模拟需要取10,000至1,000,000个增量步，每个增量步的计算成本相对较低。

•隐式方法对时间增量步的大小没有内在的限制；增量的大小通常取决于精度和收敛情况。

典型的隐式模拟所采用的增量步数目要比显式模拟小几个数量级。

然而，由于在每个增量步中必须求解一套全域的方程组，所以对于每一增量步的成本，隐式方法远高于显式方法。

了解两个程序的这些特性，能够帮助你确定哪一种方法是更适合于你的问题。

ABAQUS/Explicit适用的问题类型
在讨论显式动态程序如何工作之前，有必要了解ABAQUS/Explicit适合于求解哪些类问题。

贯穿这本手册，我们已经提供了贴切的例题，它们一般是应用ABAQUS/Explicit求解的如下类型问题：
高速动力学（high-speed dynamic）事件
最初发展显式动力学方法是为了分析那些用隐式方法（如ABAQUS/Standard）分析起来可能极端费时的高速动力学事件。

作为此类模拟的例子，在第10章“材料”中分析了一块钢板在短时爆炸载荷下的响应。

因为迅速施加的巨大载荷，结构的响应变化的非常快。

对于捕获动力响应，精确地跟踪板内的应力波是非常重要的。

由于应力波与系统的最高阶频率相关联，因此为了得到精确解答需要许多小的时间增量。

复杂的接触（contact）问题
应用显式动力学方法建立接触条件的公式要比应用隐式方法容易得多。

结论是ABAQUS/Explicit能够比较容易地分析包括许多独立物体相互作用的复杂接触问题。

ABAQUS/Explicit是特别适合于分析受冲击载荷并随后在结构内部发生复杂相互接触作用的结构的瞬间动态响应问题。

在第12章“接触”中展示的电路板跌落试验就是这
类问题的一个例子。

在这个例子中，一块插入在泡沫封装中的电路板从1m 的高度跌落到地板上。

这个问题包括封装与地板之间的冲击，以及在电路板和封装之间的接触条件的迅速变化。

复杂的后屈曲（postbuckling ）问题
ABAQUS/Explicit 能够比较容易地解决不稳定的后屈曲问题。

在此类问题中，随着载荷的施加，结构的刚度会发生剧烈的变化。

在后屈曲响应中常常包括接触相互作用的影响。

高度非线性的准静态（quasi-static ）的问题
由于各种原因，ABAQUS/Explicit 常常能够有效的解决某些在本质上是静态的问题。

准静态过程模拟问题包括复杂的接触，如锻造、滚压和薄板成型等过程一般地属于这类问题。

薄板成型问题通常包含非常大的膜变形、褶皱和复杂的摩擦接触条件。

块体成型问题的特征有大扭曲、瞬间变形以及与模具之间的相互接触。

在第13章“ABAQUS/Explicit 准静态分析”中，将展示一个准静态成型模拟的例子。

材料退化（degradation ）和失效（failure ）
在隐式分析程序中，材料的退化和失效常常导致严重的收敛困难，但是ABAQUS/Explicit 能够很好地模拟这类材料。

混凝土开裂的模型是一个材料退化的例子，其拉伸裂缝导致了材料的刚度成为负值。

金属的延性失效模型是一个材料失效的例子，其材料刚度能够退化并且一直降低到零，在这段时间中，单元从模型中被完全除掉。

这些类型分析的每一个问题都有可能包含温度和热传导的影响。

动力学显式有限元方法
这一节包括ABAQUS/Explicit 求解器的算法描述，在隐式和显式时间积分之间进行比较，并讨论了显式方法的优越性。

显式时间积分
ABAQUS/Explicit 应用中心差分方法对运动方程进行显示的时间积分，应用一个增量步的动力学条件计算下一个增量步的动力学条件。

在增量步开始时，程序求解动力学平衡方程，表示为用节点质量矩阵M 乘以节点加速度u 等于节点的合力（在所施加的外力P 与单元内力I 之间的差值）：
Mu =P -I
在当前增量步开始时（t 时刻），计算加速度为：
1()()|()()|t t -=⋅-u M P I
由于显式算法总是采用一个对角的、或者集中的质量矩阵，所以求解加速度并不复杂；不必同时求解联立方程。

任何节点的加速度是完全取决于节点质量和作用在节点上的合力，使得节点计算的成本非常低。

对加速度在时间上进行积分采用中心差分方法，在计算速度的变化时假定加速度为常数。

应用这个速度的变化值加上前一个增量步中点的速度来确定当前增量步中点的速度： ()()()()()22(||)|||2t t t t t t t t t t +∆∆∆+-∆+∆=+u u u
速度对时间的积分并加上在增量步开始时的位移以确定增量步结束时的位移：
()()()()2||||t t t t t t t t +∆+∆∆+=+∆u u u
这样，在增量步开始时提供了满足动力学平衡条件的加速度。

得到了加速度，在时间上“显式地”前推速度和位移。

所谓“显式”是指在增量步结束时的状态仅依赖于该增量步开始时的位移、速度和加速度。

这种方法精确地积分常值的加速度。

为了使该方法产生精确的结果，时间增量必须相当小，这样在增量步中加速度几乎为常数。

由于时间增量步必须很小，一个典型的分析需要成千上万个增量步。

幸运的是，因为不必同时求解联立方程组，所以每一个增量步的计算成本很低。

大部分的计算成本消耗在单元的计算上，以此确定作用在节点上的单元内力。

单元的计算包括确定单元应变和应用材料本构关系（单元刚度）确定单元应力，从而进一步地计算内力。

这里给出了显式动力学方法的总结：
1. 节点计算 a. 动力学平衡方程
1()()()()()t t t -=⋅-u M P I
b. 对时间显式积分 ()()()()22()2
t t t t t t t t t t +∆∆∆+-∆+∆=+u u u ()()()()2t t t t t t t t +∆+∆∆+=+∆u u u
2. 单元计算
a. 根据应变速率ε，计算单元应变增量d ε
b. 根据本构关系计算应力σ
()()(,)t t t f d σσε+∆=
c. 集成节点内力()t t +∆I 3. 设置时间 t 为t t +∆，返回到步骤1。

比较隐式和显式时间积分程序
对于隐式和显式时间积分程序，都是以所施加的外力P 、单元内力I 和节点加速度的形式定义平衡：
Mu =P -I
其中M 是质量矩阵。

两个程序求解节点加速度，并应用同样的单元计算以获得单元内力。

两个程序之间最大的不同在于求解节点加速度的方式上。

在隐式程序中，通过直接求解的方法求解一组线性方程组，与应用显式方法节点计算的相对较低成本比较，求解这组方程组的计算成本要高得多。

在完全Newton 迭代求解方法的基础上，ABAQUS/Standard 使用自动增量步。

在时刻t t ∆+增量步结束时，Newton 方法寻求满足动力学平衡方程，并计算出同一时刻的位移。

由于隐式算法是无条件稳定的，所以时间增量t ∆比应用于显式方法的时间增量相对地大一
些。

对于非线性问题，每一个典型的增量步需要经过几次迭代才能获得满足给定容许误差的解答。

每次Newton 迭代都会得到对于位移增量j u ∆的修正值j c 。

每次迭代需要求解的一组瞬时方程为
j j j j j j u M I P c K --=ˆ
对于较大的模型，这是一个昂贵的计算过程。

有效刚度矩阵j
K ˆ是关于本次迭代的切向刚度矩阵和质量矩阵的线性组合。

直到一些量满足了给定的容许误差才结束迭代，如力残差、位移修正值等。

对于一个光滑的非线性响应，Newton 方法以二次速率收敛，描述如下： 迭代 相对误差
1 1
2 10-2
3 10-4
. .
. .
. .
然而，如果模型包含高度的非连续过程，如接触和滑动摩擦，则有可能失去二次收敛，而是可能需要大量的迭代过程。

为了满足平衡条件，减小时间增量的值可能是必要的。

在极端情况下，在隐式分析中的求解时间增量值可能与在显式分析中的典型稳定时间增量值在同一量级上，但是仍然承担着隐式迭代的高昂求解成本。

在某些情况下，应用隐式方法甚至可能不会收敛。

在隐式分析中，每一次迭代都需要求解大型的线性方程组，这一过程需要占用相当数量的计算资源、磁盘空间和内存。

对于大型问题，对这些方程求解器的需求优于对单元和材料的计算的需求，对于在ABAQUS/Explicit 中的分析这是类似的。

随着问题尺度的增加，对方程求解器的需求迅速地增加，因此在实践中，隐式分析的最大尺度常常取决于给定计算机中的磁盘空间的大小和可用内存的数量，而不是取决于需要的计算时间。

显式时间积分方法的优越性
显式方法特别地适用于求解高速动力学事件，它需要许多小的时间增量来获得高精度的解答。

如果事件持续的时间是非常短，则可能得到高效率的解答。

在显式方法中可以很容易地模拟接触条件和其它一些极度不连续的情况，并且能够一个节点一个节点地求解而不必迭代。

为了平衡在接触时的外力和内力，可以调整节点加速度。

显式方法最显著的特点是没有在隐式方法中所需要的整体切线刚度矩阵。

由于是显式地前推模型的状态，所以不需要迭代和收敛准则。

自动时间增量和稳定性
稳定性限制了ABAQUS/Explicit 求解器所能采用的最大时间步长，这是应用ABAQUS/Explicit 进行计算的一个重要因素。

下面一节将描述稳定性限制并讨论在ABAQUS/Explicit 中如何确定这个值，还将讨论影响稳定性限制的有关模型设计参数的问题，这些模型参数包括模型的质量、材料和网格剖分。

显式方法的条件稳定性
应用显式方法，基于在增量步开始时刻t 的模型状态，通过时间增量t ∆前推到当前时刻的模型状态。

这个使得状态能够前推并仍能够保持对问题的精确描述的时间是非常短的。

如果时间增量是大于这个最大的时间步长，则此时间增量已经超出了稳定性限制（stability limite ）。

超过稳定性限制的一个可能后果就是数值不稳定，它可能导致解答不收敛。

由于一般不可能精确地确定稳定性限制，因而采用保守的估计值。

因为稳定性限制对可靠性和精确性有很大的影响，所以必须一致性和保守地确定这个值。

为了提高计算的效率，ABAQUS/Explicit 选择时间增量，使其尽可能地接近而且又不超过稳定性限制。

稳定性限制的定义
以在系统中的最高频率（ωmax ）的形式定义稳定性限制。

无阻尼的稳定性限制由下式定义 stable max 2
t ω∆=
而有阻尼的稳定性限制由下面的表达式定义
stable max 2
)t ξω∆=
式中，ξ是最高频率模态的临界阻尼部分。

（回顾临界阻尼，它定义了在自由的和有阻尼的振动关系中在有振荡运动与无振荡运动之间的限制。

为了控制高频振荡，ABAQUS/Explicit 总是以体积粘性的形式引入一个小量的阻尼。

）这也许与工程上的直觉相反，阻尼通常是减小稳定性限制的。

在系统中的实际最高频率是基于一组复杂的相互作用因素，而且是不大可能计算出确切的值。

代替的办法是应用一个有效的和保守的简单估算。

我们不是考虑模型整体，而是估算在模型中每个个体单元的最高频率，它总是与膨胀模态有关。

可以证明，由逐个单元为基础确定的最高单元频率总是高于有限元组合模型的最高频率。

基于逐个单元的估算，稳定极限可以用单元长度e L 和材料波速d c 重新定义： stable e d
L t c ∆= 因为没有明确如何确定单元的长度，对于大多数单元类型，例如一个扭曲的四边形单元，上述方程只是关于实际的逐个单元稳定极限的估算。

作为近似值，可以采用最短的单元尺寸，但是估算的结果并不一定是保守的。

单元长度越短，稳定极限越小。

波速是材料的一个特性。

对于泊松比为零的线弹性材料
d c =
其中，E 是杨氏模量，ρ是密度。

材料的刚度越大，波速越高，导致越小的稳定极限；密度越高，波速越低，导致越大的稳定极限。

这种简单的稳定极限定义提供了某些直觉上的理解。

稳定极限是当膨胀波通过由单元特征长度定义的距离时所需要的时间。

如果我们知道最小的单元尺寸和材料的波速，我们就能
够估算稳定极限。

例如，如果最小单元尺寸是5 mm，和膨胀波速是5000 m/s，稳定的时间增量就是在1×10-6 s的量级上。

在ABAQUS/Explicit中的完全自动时间增量与固定时间增量
在分析的过程中，ABAQUS/Explicit应用在前一节讨论过的那些方程调整时间增量的值，使得基于模型的当前状态的稳定极限永不越界。

时间增量是自动的，并不需用户干涉，甚至不需要建议初始的时间增量。

稳定极限是从数值模型得来的一个数学概念。

因为有限元程序包含了所有的相关细节，所以能够确定出一个有效的和保守的稳定极限。

然而，ABAQUS/Explicit容许用户不必顾及自动时间增量。

在第9.7节“摘要”中简要地讨论了人工时间增量控制。

在显式分析中所采用的时间增量必须小于中心差分算子的稳定极限。

如果未能使用足够小的时间增量则会导致不稳定的解答。

当解答成为不稳定时，求解变量（如位移）的时间历史响应一般会随着振幅的增加而振荡。

总体的能量平衡也将发生显著的变化。

如果模型只包含一种材料，则初始时间增量是直接与网格中的最小单元尺寸成正比。

如果网格中包含了均匀尺寸的单元但是却包含有多种材料，那么具有最大波速的单元将决定初始的时间增量。

在具有大变形和/或非线性材料响应的非线性问题中，模型的最高频率将连续地变化，并因而导致稳定极限的变化。

对于时间增量的控制，ABAQUS/Explicit有两种方案：完全的自动时间增量（程序中考虑了稳定极限的变化）和固定的时间增量。

应用两种估算方法确定稳定极限：逐个单元法和整体法。

在分析开始时总是使用逐个单元估算法，并在一定的条件下转变为整体估算法。

逐个单元估算法是保守的；与基于整体模型最高频率的真正的稳定极限相比较，它将给出一个更小的稳定时间增量。

一般说来，约束（如边界条件）和动力学接触具有压缩特征值响应谱的效果，而逐个单元估算法没有考虑这种效果。

另一方面，整体估算法应用当前的膨胀波波速确定整个模型的最高阶频率。

这种算法为了得到最高频率将连续地更新估算值。

整体估算法一般地将允许时间增量超出逐个单元估算法得到的值。

在ABAQUS/Explicit中也提供了固定时间增量算法。

确定固定时间增量的值或者采用在分析步中初始的逐个单元稳定性估算法，或者采用由用户直接指定的时间增量。

当要求更精确地表达问题的高阶模态响应时，固定时间增量算法可能是更有用的。

在这种情况下，可能采用比逐个单元估算法更小的时间增量值。

当在分析步中应用了固定时间增量，ABAQUS/Explicit将不再检查计算的响应是否稳定。

通过仔细地检查能量历史和其他的响应变量，用户应当确保得到了有效的响应。

质量缩放以控制时间增量
由于质量密度影响稳定极限，在某些情况下，缩放质量密度能够潜在地提高分析的效率。

例如，许多模型需要复杂的离散，因此有些区域常常包含着控制稳定极限的非常小或者形状极差的单元。

这些控制单元常常数量很少并且可能只存在于局部区域。

通过仅增加这些控制单元的质量，就可以显著地增加稳定极限，而对模型的整体动力学行为的影响是可以忽略的。

在ABAQUS/Explicit中的自动质量缩放功能，可以阻止这些有缺陷的单元不影响稳定极限。

质量缩放可以采用两种基本方法：直接地定义一个缩放因子或者给那些质量需要缩放的单元逐个地定义所需要的稳定时间增量。

这两种方法都容许对稳定极限附加用户控制，详细介绍请参考ABAQUS分析用户手册第7.15.1节“Mass scaling”。

然而，当采用质量缩放时也要小心，因为模型质量的显著变化可能会改变问题的物理模型。