§3.1 2017《5年高考3年模拟》B版(浙江省专用)教学导 数

程是解题的关键.
2-1 经过点P(1,-1)作函数f(x)=x3-2x2图象的切线l,求切线l的方程.
解析 易知点P(1,-1)在函数f(x)=x3-2x2的图象上,故要分以下两种情况.
(1)当点P(1,-1)是切点时,由f '(x)=3x2-4x,得f '(1)=-1,则切线l的方程为y+1=-(x-1),即y=-x.
f(1))处的切线方程是2x+y+b=0,求函数f(x)在区间 12 ,1 上的最小值.
解题导引
求函数f(x)在x=1的导数值,得到a的值→利用切点既在曲线上又在切线上求b的值→判断函数 f(x)在区间上的单调性→求最小值
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解析 ∵f '(x)= 1x -2ax,∴f '(1)=1-2a=-2,∴a= 32 ,又∵f(1)=-a+b=-b-2, ∴b=- 14 ,∴f '(x)= 1x -3x= 1x3x2 .
x2
x3
(2)因为y=1+sin x cos x =1+ 1 sin x,
22 2Βιβλιοθήκη 所以y'= 1 cos x.
2
(3)y'=(xsin x)'+( x )'=sin x+xcos x+ 1 .
2x
(4)y'= xlnx1

'-(2x)'=
1 x
(
x 1) ln (x 1)2
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突破方法
方法1 导数运算的解题策略
进行导数运算时,要注意以下三点: 1.尽可能把原函数化为基本初等函数和的形式. 2.遇到三角函数求导时,往往要对原函数进行化简,从而可以减少运算量. 3.求复合函数的导数时,要合理地选择中间变量. 例1 (2015浙江镇海中学测试一,5,5分)设函数f(x)=x(x+1)(x+2)(x-3),则f(x)的图象在x=0处的切线 斜率为 ( )
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叙述说明了导数的实质是函数值相对于自变量的变化率. 3.导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义,通常指物体运动的瞬时速度.对导数 几何意义与物理意义的理解,有助于对抽象的导数定义的认识,应给予足够重视. 4.f '(x0)与f '(x)的关系 f '(x0)表示f(x)在x=x0处的导数,即f '(x0)是函数在某一点的导数; f '(x)表示函数f(x)在某给定区间(a, b)内的导函数,此时f '(x)是在(a,b)上x的函数,即f '(x)是在(a,b)内任一点的导数.
2.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
由于实践的需要,对与物体运动速度问题相类似的一些问题的长期探索,产生了微积分,而导数
的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,所以教材导数定义中把比值 yx 叫做函数y=f(x) 在x0到x0+Δx的平均变化率,并把 lixm0 yx =f '(x0)叫做f(x)在x=x0处的导数或瞬时变化率,定义的这种
∴f(x)在

1 2
,
3 3

上为增函数,在

3 3
,1

上为减函数,
又∵f 12 =-ln 2- 85 , f(1)=- 74 ,f 12 -f(1)>0,
∴f(x)min=- 74 .
评析 本题考查导数的运算和几何意义,利用切点既在切线上又在曲线上列出关于a,b的两个方
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
.f '(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率.
(2)如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,其导数值在(a,b)内构成一个新的函数,这个新的
函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数.记作f '(x)或y'.
考点二 导数的运算
1.常见基本初等函数的导数公式 C'= 0 (其中C为常数);(xn)'= nxn-1 (n∈Q*); (sin x)'= cos x ;(cos x)'= -sin x ;
1
1
(ln x)'= x ;(logax)'= x ln a (a>0,a≠1);
(ex)'= ex ;(ax)'= axln a (a>0,a≠1). 2.可导函数的四则运算的求导法则 (1)[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x); (2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);
答案 D 评析 本题考查导数的四则运算、导数的几何意义,考查推理运算能力. 1-1 求下列函数的导数:
(1)y=x 1
2 x

2 x3
;(2)y=1+sin 2x cos 2x ;
(3)y=xsin x+ x ;(4)y= ln x -2x.
x 1
解析 (1)因为y=x+2+ 2 ,所以y'=1- 4 .
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高考数学（浙江省专用）
§3.1 导 数
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知识清单
考点一 导数的概念及其几何意义
1.导数的概念
y
(1)如果当Δx→0时, x 有极限,就说函数y=f(x)在x=x0处可导,并把这个极限叫做函数y=f(x)在x=x0
y
处的导数(或瞬时变化率),记作 f '(x0)或y' |xx0 ,即f '(x0)= lixm0 x =
则切线l的方程为y+1=- 5 (x-1),即y=- 5 x+ 1 .
4
44
故所求的切线l的方程为y=-x或y=- 5 x+ 1 .
44
2-2 已知函数f(x)=xln x-x2+2mx+m(m∈R).
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)当x≥1时,若关于x的不等式f(x)≤0恒成立,试求m的取值范围.
(3)

u( v(
x) x)

'= u '(x)v(
x) u( v2 (x)
x)v
'(
x)
(v(x)≠0).
3.y=f(φ(x))的导数yx'= yu'·ux' (其中u=φ(x)).
运用复合函数的求导法则yx'=yu'·ux',应注意以下几点:
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(1)利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数; (2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆.常出现如下错误,如(cos 2x)'=-sin 2x,实际上结果应是-2sin 2x; (3)求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,选好中间变量.
(2)当点P(1,-1)不是切点时,设切点坐标为M(x1, x13 -2 x12 )(x1≠1),∵f '(x1)=3 x12 -4x1,
∴切线l的斜率k=3 x12
-4x1=kPM=
( x13
2x12 ) x1 1
1,
即3 x12 -4x1= x12 -x1-1,又x1≠1,
解得x1= 12 ,故k=3 x12 -4x1=- 54 ,
∴φ(x)≥φ(1)=1>0,∴当x≥1时,g'(x)>0,
则g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,
∴g(x)在区间[1,+∞)上的最小值为g(1)= 1 ,
3
∴当x≥1时,若不等式f(x)≤0恒成立,则m≤ 13 .
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解析 (1)当m=1时, f(x)=xln x-x2+2x+1, f(1)=2,
f '(x)=ln x-2x+3,f '(1)=1, ∴曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=x+1.
(2)当x≥1时, f(x)≤0⇒m≤ x2 x ln x.设g(x)= x2 x ln x,
x
-2xln
1
2=
1 ln x
(x 1)2
x
-2xln
2.
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方法2 导数的几何意义的解题策略
若已知曲线过点P(x0,y0),求曲线过点P(x0,y0)的切线,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种 情况求解. (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f '(x0)(x-x0). (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1)); 第二步:写出在P'(x1,f(x1))处的切线方程:y-f(x1)=f '(x1)(x-x1); 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f '(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程. 例2 (2016浙江名校交流卷,“复数与导数”模块,2,5分)已知函数f(x)=ln x-ax2+b的图象在点(1,
A.0
B.-1
C.3
D.-6
解题导引
把函数f(x)看成四个一次函数的乘积→利用导数运算法则求导→利用导数的几何意义得结论 解析 f '(x)=(x+1)(x+2)(x-3)+x(x+2)(x-3)+x(x+1)(x-3)+x(x+1)(x+2),则f '(0)=-6,故f(x)的图象在x=0 处的切线斜率为-6.
2x 1
2x 1
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则g'(x)=
(2x

ln
x
1)(2x 1) (2x 1)2
2( x 2

x
ln
x)
=
2
x2 (2x
ln x 1)2
1
.
设φ(x)=2x2-ln x-1,则φ'(x)=4x- 1 = 4x2 1. xx
∵x≥1,∴φ'(x)>0,则φ(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,