张力膜结构的找形分析

9
张力膜结构找形算例
依据本文的方法，编制了相应的程序。所编程 序已能完成张力膜结构的找形分析及荷载作用下 的内力分析，并与 KPa Engineering Limited 公司的 一实际工程算例结果(采用动力松弛法分析)进行了 比较，两者符合甚好[4]。 算例 1：图 2 为一四点支承，四边有索加劲的 正 方 形 平 面 膜 ， 膜 厚 为 1mm ， 膜 的 预 应 力 为 8N/mm2， 显示了不同的索膜应力比值对平衡形状的
6
索膜预张应力值的确定
确定膜结构中预张应力的大小是一个经验性 很强的工作。预张应力首先必须为结构提供足够的 刚度来抵抗外载，保证结构在整个使用期内不会产 生过多的皱折。就这个意义而言，预张应力越大越 好。但是过大的预张应力会使结构在较小的外载作 用下达到材料允许的强度值。一般情况下，膜结构 中膜的允许应力是其单轴抗拉极限强度的 25%左 右，膜的预张应力控制在允许应力的 30%以内。确 定预张应力后，找出结构的初始平衡形状，然后进 行荷载组合作用下的分析，判断结构是否出现皱折 或结构中的应力是否超过材料的允许应力。实际设 计中，预张应力的确定需要经过多次试设和反复才 能最终确定。
上面省略了表征单元的上标，实际上上述所有 的矩阵都应逐个单元地得到并按标准方式相加。整 个结构的增量形式的平衡方程如下： K TÄ U = Ä P (8)
膜单元采用三角形单元，并采用修正的拉格朗 日法来描述大位移问题。同一般结构一样，膜结构 是在结构的整体坐标系 O—XYZ 中定义的，而对于 各 个 单 元 可 分 别 建 立 流 动 的 局 部 坐 标 系 O’— X’Y ’Z’。整体坐标系下的位移、节点力和流动局部 坐标系的位移、节点力之间可以通过坐标变换矩阵 T 进行转换。 三节点单元为常应力单元，因而公式(7)中 K σ 无需积分，可直接相乘而得。
力向量，则
P0e = −∫ B 0Tσ0 dV ,
V
ΔP = ∑ T Ｔ P0e
(9)
当采用二节点索单元时，预应力等效的节点力 向量可直接给出为
{P0 }e = { Aσ 0 , − Aσ 0 }T
为使给定的结构的预张应力在整个迭代过程 中保持不变，也就是要使结构在预张应力等效而成 的不平衡力作用下能够自由地变形， 应取式(4)中的 弹性矩阵 D 为 0。这样 K T 就仅剩下几何刚度矩阵
———————————————
收稿日期：2000-06-07；修改日期：2000-11-10
面几何形状作为求解目标。这类方法在几何边界条 件确定的前提下，一般情况下解是唯一确定的。目 前发展起来的技术有动力松弛法[6]、力密度法、假 定几何刚度法[3]、极小曲面法[5]、小模量法[2]等。 本文的找形方法是以结构的空间形状作为求 解目标，而结构的预应力作为已知条件给定。这种 方法对结构的空间形状难以控制，但能够控制应力 的大小和分布，从而能够找到一种具有极小曲面性 质的初始形状。 在各种应力分布方式中，等应力状态是一种非 常重要的分布方式。因为等应力使结构各处受力均 匀，能最大限度发挥材料的作用。另外，均匀初始 应力状态下的平衡形状具有最小表面积的特性[2]， 这意味整个结构的用料最经济。满足平衡条件的初 始状态有许多，设计者要从中挑出一种最优的方 案。一种既能满足均匀应力分布，且又能满足使用 要求的形状可以认为是一种最优的形状。在某些情 况下，满足应力分布的形状，可能会不满足使用要 求。这时应调整应力分布，直至找到的形状能满足 使用要求。
2
几何非线性问题
在大位移情况下，膜结构的应变应考虑非线性 项，即：
作者简介：王志明(1970)，男，浙江嵊州人，工程师，硕士，东南大学土木学院在职博士生 宋启根(1932)，男，教授，硕士，博士生导师，主要从事结构的非线性力学分析
张力膜结构的找形分析
53
εx = ∂u + 1 ( ∂u ) 2 + 1 ( ∂v ) 2 + 1 ( ∂w ) 2 2 ∂x 2 ∂x ∂x 2 ∂x εy = ∂v + 1 ( ∂u ) 2 + 1 ( ∂v ) 2 + 1 ( ∂w ) 2 2 ∂y 2 ∂y ∂y 2 ∂y εxy = ∂u + ∂v + ∂u ∂u + ∂v ∂v + ∂w ∂w ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x
摘
要：张力膜结构的形状不能随意选择，设计时首先要确定满足平衡条件和建筑要求的表面形状。本文
根据大位移理论，得出了适合于张力膜结构的几何非线性有限元方程，给出了采用几何非线性有限元法确 定张力膜结构的初始形状的方法，对预张应力的确定及找形问题的非线性方程求解收敛准则提出了建议。 文中给出了几个找形算例，算例表明本文的找形方法是有效、正确的。 关键词： 张力膜结构；初始平衡形状；找形；几何非线性；有限元 中图分类号： TU358 文献标识码： A
K 0 = ∫ B 0T DB 0 dＶ
V T K = ∫ B 0T DB L dＶ + ∫ B L DB 0 dＶ + ∫ B T L DB L dＶ
L
Coordinate system of membrane element
4
张力膜结构中的单元及初应力矩 阵 Kσ
(7)
V
V
V
Kσ = ∫
V
T ∂B L σ dＶ = ∫ G T MGdＶ ∂u Ｖ
a 0 c 0 B0 = 0 b 0 d b a d c
54
工
程
力
学
其中：
a = −1 / x 2 b = ( x 3 − x 2 ) /( y 3 x 2 ) c = 1 / x 2 f = 1/ y3 d = −x 3 /( y 3 x 2 ) e = 0
假定膜的预张应力后，加劲索的预张应力就基 本可以确定。劲索的预张应力可以近似取为膜的预 张应力值与索的预想曲率半径之积。
K σ 一项。
(1)
当找形时希望将某些荷载，如自重及其它永久 荷载的影响考虑在内时， 则式(9)的右端项应加上该 荷载的等效节点荷载
P = ∑ T T ( ∫ N T fdV + ∫ N T qdS )
V S
也即：
å = ( B0 + B L ) u då = ( B 0 + B L )du
(10)
加劲索采用二节点直线杆单元，以两节点连线 为流动坐标系的 x 轴。类似于膜单元，可得到流动 坐标系下的索单元的几何刚度矩阵 K σes 为：
0 0 0 0 0 P/L P/L 0 0 − P/L 0 0 0 0 P/L 0 0 − P/L K σes = 0 0 P/L 0 0 0 0 − P/L 0 0 P/L 0 0 − P/L 0 0 P/L 0
1
初始平衡状态
张力膜结构依靠一定的预张应力及曲面挠曲 来抵抗垂直膜面的外载。膜结构中预应力的大小和 分布以及与之相应的初始平衡表面形状将决定这 个结构能否承受住外载对它的作用。初始的结构形 状和预应力之间是相互影响、相互制约的。在膜结 构分析中如何寻求一个既满足平衡条件、又满足使 用要求和建筑造型要求的初始空间形式的过程称 为膜结构的找形分析。决定膜结构初始平衡状态的 参数主要有： 1. 表面几何形状； 2. 边界条件； 3. 预 张应力大小及分布。 在膜结构找形分析中，表面几何形状是非常关 键的参数。结构形状必须满足平衡条件及建筑和结 构上的要求，并对作用在结构上的荷载有很大影 响。在有限元模型中，表面几何形状可以通过节点 坐标和单元形函数来表达。 找形分析的另一个关键参数是膜和索的初始 应力分布。初始应力必须保证结构产生足够的刚 度， 以抵抗外荷载， 并防止膜表面产生松弛和皱折。 初始平衡形状的确定可根据求解目标的不同 分为两大类：第一类是以表面几何形状作为已知， 来求解满足平衡条件的初始应力分布，但如无另外 附加条件，解是不确定的，因而求解这类问题时要 应用优化的概念，如 Haber 提出的广义最小二乘法 [3] ；第二类是以初始应力大小及分布为已知，以表
K σe = AtG T MG , B L = B 0 G a b 0 G = 0 0 0 σ x τ xy 0 Μ = 0 0 0 0 0 c 0 0 d a 0 0 0 0 c 0 0 0 e f 0 0 0 0 0 0 0 0 σx τ xy 0 f e 0 0 e f 0 0 0 0 0 0 τ xy σy 0 0 0 0 e f
第 19 卷第 1 期 2002 年 2 月
工
程
力
学
Vol.19 No. 1 Feb. 2002
ENGINEERING
MECHANICS
文章编号： 1000-4750(2002)01-052-05
张力膜结构的找形分析
王志明 1，宋启根 2
(1. 东南大学建筑设计研究院，南京 210096；2. 东南大学土木工程学院，南京 210096)
(2) (3)
f , q 分别表示体力及面荷载。
由于材料为线弹性，应力 ó = Då + ó 0 (4) 在非线性有限元法中，结构平衡方程同样可以根据 虚功原理及变分原理来建立，可取：
∫ ä ε σ dＶ − ä u
T V
T
p = KT ä u
(5)
图1 Fig.1 膜单元坐标系
将(2)、(3)式代入(5) 式，得： (6) KT = K0 + Kσ + K L K T 为切线刚度矩阵， K 0 为线性刚度矩阵， K σ 为 几何刚度或初应力矩阵， K L 为大位移刚度矩阵。 式中
在一般的非线性有限元分析中，常采用位移和 不平衡力及两者双控的收敛准则来判断结果是否 达到给定的精度。位移收敛准则是当某次增量迭代 中的位移增量 ∆uin 与当前的总位移 ui 相比足够小 时，就认为已经收敛。残余力收敛准则是当某次迭 代后的残余力向量与当前节点外载向量比足够小 时，即认为结构达到了平衡状态。在找形分析中， 如采用这种残余力收敛准则，则常常会发现计算很 难收敛到给定的收敛容差。原因在于，找形分析时 由预应力等效而成的节点荷载向量 P0 一开始就不 大(设想一个平面的膜在预应力作用下， 除边界节点 存在不平衡节点力外，其内部节点的平衡节点力均 为零 ) ，却随着迭代步的增加， P0 趋向零。而在荷 载作用下的非线性有限元分析中， 采用迭代法时 P0 保持不变，采用增量法时 P0 随增量步的增加而增 加。在找形分析中，这种残余力收敛准则的实质变 成了要求结构在一步迭代后达到所容许的收敛容 差，因而收敛是困难的。改进的办法是采用某次迭 代后的残余力向量与首次预应力等效外载向量或 各单元等效节点力的绝对值之和相比。找形分析中 建议采用位移收敛准则为主，或采用以位移收敛准 则和改进的残余力收敛准则双控的收敛准则。
(11)
3
张力膜结构找形的非线性有限元 方法
已知初应力分布求平衡位置的问题可以归结 为由初应力等效而成的节点力作用下的大位移几 何非线性分析。 设 P0 为单元的初始应力等效的节点
e
b 0 0 d 0 0 a 0 0 c 0 b 0 0 d τ xy σy 0 0 0 0 0 0 σx τ xy 0 0 0 0 τ xy σy 0 0 e 0 f
7
方程的Fra Baidu bibliotek解
局部坐标系下的单元刚度矩阵、平衡方程经坐
标变换后即可得到整体坐标系下的单元刚度矩阵、 平衡方程，然后将各个单元平衡方程集合成整体平 衡方程，采用牛顿—拉夫逊迭代法进行求解。
8
收敛准则
5
极小曲面
极小曲面是指在给定边界的情况下表面积最 小的曲面。可以证明极小曲面和等应力状态是等价 的 [2]。除了一些非常特殊的情况，极小曲面很难用 解析函数来表达。 为使膜结构的初始形状具有极小曲面的性质， 当采用非线性有限元进行膜结构的找形时，可采用 以下的方法：首先给定几何边界条件、初始应力值 和分布，并假定一个初始试探形状。在迭代过程中 保持膜始终处于等应力状态，即 σ x =σ y =σ0, τ xy = 0 ，同时保持索的应力值也不变。每次迭代后 重新计算各单元的几何刚度矩阵及由于预应力产 生的等效节点力，重复迭代直到收敛到给定的精 度，这样就得到了既满足平衡条件又具有极小曲面 性质的初始形状。