向量的减法运算

两共线向量求和 ------ 三角形法则
方向相同
方向相反
a
a
b
b
O a+b A
B O a+b B
A
OB= a+b
走进新课
已知：两个力的合力为 F 其中一个力为 F1 求：另一个力 F2
F F2
F1
学习目标
1 掌握向量的减法运算并理解其几何意义；
2 会用向量减法的三角形法则和平行四边 形法则作两个向量的差向量，培养数形 结合解决问题的能力；
BA = m－ n
.
E
D
Fm n
C
A
B
练习、如图,已知向量AB a, AD b，DAB 120o， 且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b |
C
O
D b
`
120o
a
B
A
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
A
C
b
D
| DB | | DB |2 | DB |2 62 82 10
| a b || a b | 10
4.已知 OA =a, OB =b,若| OA |=12,| OB |=5,且
∠AOB=90°, 则|a－b|= 13 .
5. 在 正 六 边 形 ABCDEF 中 , AE =m, AD =n, 则
a
b
b
练习
1.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
a
（4）
a
b
b
b
a
ba
例2： 化简 (AB - CD)-(AC - BD) 解: (AB - CD)-(AC - BD)
= AB- CD- AC+BD = AB+DC+CA +BD
= (AB+BD)+(DC+CA)
= AD+ DA = 0
的终点的向量
思考：若a// b,怎样作a b
1a 与b同向
2a 与b 异向
a
a
b
b
O
B
O
B A
A
BA a b
例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
B
ab
A b
a
O
D
d cdC c练源自11.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
（2）AB AC DB C
( A) AD (B) AC (C)CD (D)DC
例3、在 ABCD中AB， a、AD b， 用a、b
表示AC , DB 。
解：由向量加法的平行四边形法则，得
AC AB AD a b
由向量减法的法则，得：
DB AB AD a b
D
C
b
ab
A
aa b B
,
ab
0.
二、向量的减法
定义：向量
a 加上
b 的相反向量，叫做
a与
b 的差。
即：
a b a (b)
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
已知向量
a,
b,
求作
a
b .
B
b
a
b a +（-b） a
O
A
-b a +（-b）
D
a, b 起点相同，a b
可以表示为从 b 的终点指向
3 会化简向量减法运算结果。
一、相反向 量
a a 定义：与 长度相 等，方向相反的向量，叫做 的
相反向量。记做 a 。
（1）规定：零向量的相反向量仍是零向量。
a
（2）
a
a
a
（3）任一向量与它相反向量的和是零向量,即：
a
a
0
a a0
(4)若
a，b
a
互为相反向量，则
b,
b
a
练习2
(1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
Come on!
选择题
（1）AB BC AD D
( A) AD (B)CD (C)DB (D)DC
1、向量加法的三角形法则
A
B
aa a a a a a a a a bb
bb bbO
b
bb a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一个向 量的起点指向最后一个向量的终点.
2、向量加法的平行四边形法则
A
C
a a a a a a a a aa a+b
B
bb
bb
Ob
两向量起点相同.和向量就是以公共起 点为起点的对角线所在的向量。
由向量的加减法知
AC 故|
a AC
b，DB || a b
ab |，| DB ||
a
b
|
D
因为DAB 120O，所以DAC 60O b
C
O
12`0o
a
B
A
所以ADC是正三角形，则 | AC | 3
由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形，
| OD || AD | sin 60o 3 3 3 3
所以
|
a
b
|
3，| a
b
2 |
3
2 3
return
课堂小结
1、理解向量减法的定义 2、掌握向量减法的三角形法
则并能加以运用
(同起点，连终点，指被减）
练习3 已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=| a- b|,求|a- b|.
解 设AB a,作AD b,以AB和AD为邻边作ABCD， 则
则AC a b, DB a b
| a b || a b |
| AC || DB |
B
又因为四边形 ABCD为平行四边形 ， a
所以四边形 ABCD为矩形，AD AB
a 的终点的向量。
CB
O
A
向量减法的三角形法则 同起点，连终点，指被减
a b
1在平面内任取一点O A
2作OA a,OB b
3则向量BA a b
.a
O
ab
B
b
小结:作两向量的差向量的步骤:
(1)将两向量平移到共同起点 (2)连接两向量的终点,方向指向被减向量
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a