§3-6晶格振动的模式密度

§3-6 晶格振动的模式密度

3. 6. 1 晶格模式密度定义

为了准确求出晶格热容以及它与温度的变化关系，必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度（也叫频率分布函数）。原则上讲，只要知道了晶格振动谱ωj (q )，也就知道了各个振动模的频率，模式密度函数g (ω)也就确定了。但是，一般来说，ω与q 之间的关系是复杂的，除非在一些特殊的情况下，得不到g (ω)的解析表达式，因而往往要用数值计算。图3-6-1给出了一个实际的晶体（钾）的模式密度，同时给出了德拜近似下的模式密度进行比较，可以看出除在低频极限以外，两个模式密度之间存在有一定的差别。这可以说明为什么德拜热容理论只是在极低温下才是严格正确的。因为在极低温下，只有那些低频振动模才对热容有贡献。

了解晶格振动模密度的意义不仅局限于晶格热容的量子理论。实际上，计算所有热力学函数时都要涉及到对各个晶格振动模的求和，这就需要知道模式密度函数。以后还会看到，在讨论晶体的某些电学性质、光学性质时，也要用到晶格振动模式密度函数。根据式（3-5-12），我们可以定义：

()0lim

n

g ωωω

∆→∆=∆…………………………………………………………（3-6-1）

Δn 表示在ω—ω+Δω间隔内晶格振动模式的数目，如果在q 空间中，根据ω (q )=常数作出等频面，那么在等频面ω和ω+Δω之间的振动模式的数目就是Δn 。由于晶格振动模（格波）在q 空间分布是均匀的，密度为V/3

(2)π（V 为晶体体积），因此有：

3

((2)

V

n ωωωπ∆=

⨯∆频率为和+的等频率面间的体积)…………（3-6-2） 图3-6-1 钾的模式密度与德拜近似模式密度的比较

如图3-6-2所示，等频面间的体积可表示成对体积元dsdq 在面上的积分：

3(2)

V

n dsdq π∆=

⎰…………………………………………………（3-6-3） 其中dq 表示两等频率面间的垂直距离，ds 为面积元，显然

()q dq q ωω∇=∆

因为()q q ω∇表示沿法线方向频率的改变

率。因此

3(2)q V

dS

n ωπω

⎡⎤

∆=∆⎢

⎥∇⎢⎥⎣⎦⎰

………（3-6-4） 从而得到模式密度的一般表达式

()()

()3

2q

V

dS

g q ωωπ=

∇⎰………（3-6-5）

3. 6. 2 一维单原子链的模式密度

对于一维情况，q 空间的密度约化为L /2π，L =Na 为单原子链的长度，其中a 为原子间距，N 为原子数目。则在q 空间内振动模式数目为2L

dq π

。d ω频率间隔内的振动模式数目为：

22L dq n d d ωπω

∆=⨯

⋅…………………………………………………………（3-6-6） 等式右边的因子2来源于ω(q )具有中心反演对称，q>0和q<0区间的完全等价的。从而有

()1

L g d dq

ωωπ=

…………………………………………………………（3-6-7） 这是公式（3-6-7）在一维情况时的简化形式。对于一维单原子链，只计入最近邻原子之间的相互作用时，有

(

)11

sin 22

m q aq aq ωω=

= 其中m ω为最大频率。代入（3-6-7）式可以得到：

图3-6-2 等频面示意图

()122

2

2()m

N

g ωωωπ

-

=

-…………………………………………（3-6-8）

3. 6. 3 分析ω=c 2

q 的模式密度

首先回顾一下德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于q 。即 c ω=q

代入（3-6-5）式，容易得到：

()()

23

231422V

V

g c c c

ωωπωππ⎛⎫=

= ⎪⎝⎭…………………………………（3-6-9） 下面，我们以色散关系为ω=c 2

q 为例，分析其三维、二维及一维情况下的模式密度。 （1） 三维情况模式密度 对于三维情况，

ω=c 2

q ……………………………………………（3-6-10） 在q 空间等频率面为球面，半径为：

q =

在球面上，

()22q d q Cq dq ωω∇=

==是一个常数，且球面积分为：24ds q π=⎰

，因此：

()()()()()2

12333232111422222q q V

ds V V V g ds q cq c

ωπωωωππππ=

===∇∇⎰

⎰ ……………………………………………（3-6-11）

（2）二维情况模式密度

对于二维情况，q 空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为：

q =

二维情况下的q 空间中的密度为：A/(2π)2，（这里A 为二维晶格的面积），而且有：

()222q d q Cq C dq C dL q

ωω

ωπ∇=

===⎰

所以对于ω=c 2

q ，二维情况的模式密度为：

2

2

2()(2)(2)24()q dn A dL A q A

g d Cq C

q πωωπππω=

=

==∇⎰

…………………（3-6-12） （3）一维情况

同理，在一维情况下，q 空间有两个等频点+q 和-q 。仿上面的方法可以得到：

1()2(2)(2)2()2q dn L dq L g d Cq q C ωωππωπω

=

==⨯=

∇⎰……………（3-6-13） 总之，色散关系为ω=c 2

q 的形式时，在三维、二维和一维情况下，模式密度分别与频率ω的½，0，-½次方成比例。

3. 6. 4 模式密度的范霍夫奇点

从（3-6-5）式可以看出，在()q ω对q 的梯度为零的地方，g (ω)应显示出某种奇异性，我们称()0q q ω∇=的点为范霍夫奇点，也称为临界点。

例：一维单原子链的范霍夫奇点

对于一维单子链，模式密度为

2

2

()m g ωπωω

=

⋅-，显然：当ω→m

ω（或q=±π/a 时，g(ω)→∞，即m ω为一维单原子情况的范霍夫奇点，如图3-6-3所示。,