平面曲线和相对运动

1 2
at 2
位置
1 - 3 平面曲线运动
二 斜抛运动
第一章 质点力学基础
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止 自由下落.
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
已知 ax 0 ay g, t 0 时 x0 y0 0
v0x v0 cos v0y v0 sin
y
v0 y
v0
vy v
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
一 匀变速直线运动
已知一质点作直线运动, 其加速度a 为恒矢量, 有
dv
v
t
a C dt
dv adt
v0
0
积分可得 v v0 at
x
t
dx vdt
dx x0
0 ( v0 at )dt
积分可得
x
x0
v0t
1 2
at 2
位移
x
x0
v0t
t 0 t t 0 t t 0 t
v2
et2 v1
o r et1
v2 r
n
dv dt
t
an
at
法向加速度（速度方向变化引起）
an
v2 r
n
vtv2vvn v1
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
法向加速度（速度方向变化引起）
an
v2 r
n
切向加速度（速度大小变化引起）
at
dv t dt
B o
v1
et1
RA
v
v2 v1
a的方向为d v的方向：
v2
当t 0时， 0， a an
d v方向垂直于vA指向圆心。
n R
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
2、质点作变速率圆周运动 v1 v2
在t时间内，有v v2 v1
a
将v分解成v
lim v lim
vn vn
limvtvt
有心力f f (r)rˆ问题常在平面极坐标系中处理。
r=常数
=常数
y
xx
直角坐标和平面极坐标的等坐标线
2、rˆ 和 ˆ 对时间的导数
ˆ(t t ) rˆ(t t)
rˆ(t t ) rˆ rˆ(t )
ˆ(t )
rˆ(t )
rˆ rˆ
O
rˆ
drˆ dt
d
dt
ˆ
ˆ
ˆ ˆ(t t ) ˆ(t )
vx
o v0x
d0
vx
vy
x
v
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt2
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
三 圆周运动 1、质点作匀速率圆周运动
v1 v2 v
在t时间内，有 v v2 v1
a
lim t0
v t
ltim0Rl.vt
v lim l v2
Rt 0t R
v2 et2
第一章 质点力学基础
矢量（vector）及其运算：
矢量：有大小、方向，并有下述运算规则
1、加法：平行四边形法则
r B
r
r
C
A
交换律 A B B A
结合律 A (B C ) ( A B) C
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
2、数乘：矢量乘标量结果仍为矢量
结合律 (A) ( )A
ˆ
dˆ
dt
d
dt
rˆ
rˆ
3、平面极坐标中的位矢 速度 加速度
（1）位矢 r(t) r(t)rˆ(t)
r
r
rˆ
（2）速度
v
dr
d(r
rˆ)
rrˆ
rrˆ
rrˆ
rˆ ˆ
rˆ
dt dt
v vr v
径横向向速速度度：：vvr
rrˆ
rˆ
【思考】圆周运 动质点的径向速 度和横向速度如 何表示？
分配律 ( A B) A B
( )A A A
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
3、标量积：A
B
AB cos
,
A2 A A
交换律 A B B A
分配律 A (B C ) A B A C
4、矢量积：
A B
A B
A B AB sin (0 )
为 . 于是质点在点 A 的位
置可由 A(r, ) 来确定 .
A
r
o
x
以 (r, ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 .
1、定义
ˆ rˆ ˆ rˆ 单位矢量 rˆ ：r增加的方向。
单位矢量ˆ ： 增加的方向。
P(r, )
r
rˆ和ˆ 都不是常矢量： 虽然
O
长度都为1，但方向都随 极轴 P点的位置变化而变化。
1（-33）加平速面度曲线运动
a
dv
d(vr
v
dt
dt
)
第一章 质点力学基础
d( rrˆ) d( rˆ)
dt
dt
d(rrˆ) rrˆ rrˆ rrˆ rˆ
dt
rˆ ˆ ˆ rˆ
d( rˆ) rˆ rˆ r2rˆ
dt
a (r r2 )rˆ (2r r)ˆ
1 - 3 平面曲线运动
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
四 质点圆周运动的角量描述
引入：很多物体作圆周运动
各点的速度加速度不同，用以往的速度加速度 描述不便，为此引入角量描述。
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
1、圆周运动的角量描述 （先要规定参考方向）
1）角位置 （角坐标）
注意：
O
X 圆心到质点 所在位置的 连线与参考方向之间的夹 角
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
注意：同一质点的加速度无论在直角坐标还是
a 自然坐标中总加速度
只能是一个值。
Y
at
A
O’ a y
O
an
ax a
Y
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
3、平面极坐标系
设一质点在 Oxy 平面内
y
运径动r，与某时x刻轴它之位间于的点夹A 角.矢
第一章 质点力学基础
➢ 位矢:
r
xi
yj
zk
➢ 运动函数
r
r(t )
x(t)i
y(t) j
z(t )k
➢ 轨道方程: f ( x, y, z) 0
➢
➢
速位度移:矢量v：drr
rB
rA
圆
➢ 加速度： addtv
dt
周 运 动
an
v2 r
n
at
dv t dt
1 - 3 平面曲线运动
v2
et2 v1
o r et1
圆周运动加速度
aatt ann
a at2an2
tan
1
an at
v
v2
v1
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
圆周运动加速度
aatt ann
A
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a at2an2 tan1 aant
0, 0 π2, v增大
at
θ
an
a
at 0, π2, v 常量
0,
π 2
π
,
v 减小
1 - 3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
准备知识：曲率圆、曲率半径
1：平面自然坐标 2：平面自然坐标中的速度 3：平面自然坐标中的加速度
1 - 3 平面曲线运动 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
eˆ n eˆ t
分解成一系列圆周运动
：曲率圆的曲率半径
a
dv dt
eˆ t
v2
eˆ n
a)一般规定逆时钟转动为正角位置；
b）角位置的单位 常用弧度（ r a d）无量纲；