第八章 交通流理论

将影响、传递到车队中的最后一辆车。
N+1 S(t) Xn+1(t)
t时刻N+1车位置 正常情况下两车间距
N
N车停车位置
Xn(t)
t时刻N车的位置
N车开始减速位置
d3:N车的制动距离
N+1 N+1 N
d1
反应时间T内N+1 车的行驶距离
d2
N+1车的制动距离
L
安全距离
3.线性跟驰模型分析
S(t) d 1 d 2 L - d 3

n m / p m 2 /(m S 2 )(取整数)
(2)递推公式
P(0) (1 p) n n x 1 p P( X x) P( X x 1) x 1 p
(3)应用条件 车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项分 布拟合较好。此时S2/m小于1.0。
t t
其概率密度函数为：
e (t ) , f (t ) 0,
t t
式中：

1 , t
t 为平均车头时距 。
(2)适用条件
移位负指数分布适用于描述不能超车的单列车流 的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。

3.M3分布 （1）基本公式：

m2 l 2 ， S
概率密度函数：
p(t ) e
t
(t ) , l 1,2,3, (l 1)!
l 1
第二节 跟驰模型
1.引例
思考
前车紧急制动时，后车在 什么情况下才是安全的？
后车反应
？
前车刺激
2.线性跟驰模型介绍

跟驰理论——研究在限制超车的单车道上，行驶车
队中前车速度的变化引起的后车反应。

论的基本方法及其在交通工程中的某些应 用， 虽然排队论应用到交通工程中，其中的术语也
赋予了具体的含义，但这里仍然保留了排队论中术语。
一. 基本概念
排队 单指等待服务的顾客 ( 车辆或行人 ) ，不包括正在被 服务的顾客； 排队系统 既包括等待服务的顾客，又包括正在被服务的 顾客。 排队系统的三个组成部分 (1)输入过程 是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。 ①定长输入 ②泊松输入 ③爱尔朗输入 (2)排队规则 指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 ①损失制 ②等待制 ③混合制 (3) 服务方式 指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为 每一顾客服务了多少时间。 ①定长分布服务 ②负指数分布服务 ③爱尔朗分布服务
2
式中：n——观测数据分组数； fi——计算间隔T内到达xi辆车(人)这一事件发生的次(频)数； xi——计数间隔T内的到达的车辆数； N——调查样本数。
(2)递推公式
P(0) e m m P( X x) P( X x 1) x
(3)应用条件：车流密度不大，车辆间相互影响 微弱。 在概率论中，泊松分布的均值M和方差D均等 于 t m ，当观测数据的方差S2和均值m之比 近似等于1.0时，泊松分布适用。
x
④ 到达数大于等于x的概率：
mi e m P( X x ) 1 P( X x ) 1 i! i 0
x 1
⑤ 到达数大于x但不超过y的概率：
mi e m P( x X y ) i! i x 1
y
⑥X的期望和方差：
m xem m x 1e m E( X ) x m m x! x 0 x 1 ( x 1)!


研究条件——限制超车的单车道
研究对象——后车的行驶状态


研究前提——前车行驶状态变化
研究目的——单车道交通流特性
跟驰——非自由行驶状态

制约性——驾驶员紧随前车，车速在前车车速附 近摆动，前后车之间要有安全距离。

延迟性——后车的行驶状态改变滞后于前车。 传递性——车队中第一辆车的行驶状态改变
第八章 交通流理论
第一节 第二节 第三节 第四节

交通流的概率统计分布 跟驰理论 排队论 流体力学模拟理论
交通工程学的基础理论就是交通流理论。 所谓交通流理论是应用数学或物理学原理 对交通流的各参数及其之间关系进行定性 和定量的分析，以寻求道路交通流的变化 规律，从而为交通规划、交通管理和道路 设计及运政、路政管理提供理论依据。
t P(h t ) exp

， t

、、 为分布参数，取正值，且 。


为起点参数， 为形状参数， 为尺度参数。 概率密度函数：
d 1 P(h t ) 1 p(t ) dt t
D
1
2
(2)适用条件 负指数分布适用于车辆到达是随机的、有充分超 车机会的单列车流和密度不大的多列车流的情况。通 常认为当每小时每车道的不间断车流量等于或小于 500辆，用负指数分布描述车头时距是符合实际的。
2.移位负指数分布 (1)基本公式
P(h t ) e (t ) , P(h t ) 1 e (t ) ,
3. 负二项分布
(1)基本公式
1 k x P( X x) Cxk p ( 1 p ) , k 1
x 0,1,2,
式中：p、k为负二项布参数。0＜p＜1，k为正整数。

到达数小于x的概率：
k 1 k i P( X x) C x p ( 1 p ) k 1 i 1 x
速度 速度 速度的一阶导数：加速度
1/ T
(t T ) [ X (t ) X (t )] X n1 n n1
X n1 (t T ) [ X n (t ) X n1 (t )]
反应
灵敏度
刺激
反应 灵敏度 刺激
一般情况下，T=1.0~2.2秒 对于50%的驾驶员，T约为1.5秒
x m m e Var ( X ) ( x m) 2 m x! x 1

在实际应用中，期望和方差分别由样本均值均值和样本方差 分别进行估计：
观测的总车辆数 i 1 m ＝ n 总计间隔数
x f x f
i i
n
n

i 1

i 1
i i
fi
N
1 N 1 n 2 S ( xi m) ( xi m) 2 f i N 1 i 1 N 1 i 1

到达数大于x的概率：
k 1 k i P( X x) 1 C x p ( 1 p ) k 1 i 1 x
• 负二项分布的均值 M=k( １ -p)/p ，方差 D=k(1-p)/p2,M ＜ D 。 因此，当用负二项分布拟合观测数据时，利用p、k与均值、方 差的关系式，用样本的均值 m、方差 S2 代替 M 、D ，p、 k 可由下 列关系式估算：
率：
P(H≥t)=e-λt 1 E(H )
若Q表示每小时的交通量，则λ=Q/3600(辆/s)，记T
=3600/Q=1/λ,前式可以写成： P(h≥t)=e-t/T
前式中Qt/3600是到达车辆数的概率分布的平均值。
若令M为负指数分布的均值，则应有：
M=3600/Q=1/λ
负指数分布的方差为：

四. 从跟驰理论到交通流模型
认为反应强度系数λ与车头间距成反比 （新变量λ1常数）
1/s(t) 1/[xn(t)- xn 1(t)]
1
. 1 . X n1 (t T ) X n (t ) X n 1 (t ) X n (t ) X n1 (t ) ..
2. 二项分布
(1)基本公式
P( X x) Cnx p x (1 p)nx , x 0,1,2,, n
式中：n、p为二项分布参数，0＜p＜1，n为正整数
其中
n! C x!(n x)!
x n
到达数小于x的概率：
i i P( X x) Cn p (1 p) ni i 0 x 1
第一节 概率统计模型
一. 离散型分布
1. 泊松分布
(1)基本公式
( T ) x e T P( X x) , x! x 0,1,2,
式中：P(X=x)——在计数时间T内，事件X发生x的次的概率； λ——单位时间的平均发生的事件次数； T——计数时间(s)或距离(m)； e——自然对数的底，取值为2.71828。 令 m T ，为在计数间隔T内平均发生的事件次数，则
(t T )T L X n (t ) X n1 (t ) X n1
距离
距离
距离的一阶导数：速度
(t T )T L X n (t ) X n1 (t ) X n1
(t ) X (t ) X (t T )T X n n1 n1
到达数大于x的概率：
i i P ( X x ) 1 Cn p (1 p) ni i 0 x 1
对于二项分布，其均值M=np,方差D=np(1-p)，M＞D。因 此，当用二项分布拟合观测数时，根据参数p、n与方差， 均值的关系式，用样本的均值m、方差S2代替M、D，p、n可 按下列关系式估算： p (m S 2 ) / m
跟驰模型的一般公式 ：
. . X n1 (t T ) X n (t ) X n1 (t ) ..
m xn1 (t T ) l ,m , l , m为常数 l xn (t ) xn1 (t )
第三节 排队论模型

排队论又称随机服务系统理论，是研究系统
m xem P( X x) , x! x 0,1,2,
① 到达数小于x辆车(人)的概率：
mi e m P( X x) i! i 0
x 1
② 到达数小于等于x的概率：
mi e m P( X x) i! i 0
x
③ 到达数大于x的概率：
mi e m P( X x ) 1 P( X x ) 1 i! i 0
1
t exp




（2）适用条件：适用范围较广，用来描述交通流 中的车头时距分布、速度分布等。



4.爱尔朗分布 也是较为通用的用来描述车头时距分布、速度 分布等。 累积的爱尔朗分布形式：
lt e P(h t ) (lt )i i! i 0 l 1
二. 连续型分布
连续型分布常用来描述车头时距、速度等交通流特性的 分布特征。 1.负指数分布 (1)基本公式 用H表示车头时距，则H为随机变量，当H的分布密度为：
ห้องสมุดไป่ตู้
f (t ) e
t
则车头时距服从负指数分布。其分布函数为：
F (t ) 1 et
其意义是车头时距H<t的概率。
在实际中，人们比较关心的车头时距大于等于 t的概

假定d2＝d3，即两车的制动距离相等， 要使在时刻t两车的间距能保证在突然 刹车事件中不发生幢碰，则应有：
S(t) d 1 L
S(t) X n (t ) X n1 (t )
(t T )T d1=Un1 (t )T Un1 (t T )T X n1
L为常数
由于随机因素的干扰而出现排队（或堵塞）现象规律 性的一门学科。


源于20 世纪初的电话服务理论研究，
第二次世界大战以后，排队论在很多领域内被采用。 在交通工程中，排队论被广泛应用，比如车 辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、收费亭、 加油站等交通设施的设计与管理等方面的研究中都常 用到。 排队论内容丰富，应用很广，本节主要介绍排队
二. 模型的稳定性
1. 局部稳定 指前后两车之间的变化反应。
例如两车车距的摆动，如摆动大则不稳定，摆动 愈小则愈稳定，这称为局部稳定。 2. 渐近稳定 是引导车向后面各车传播速度
变化。如扩大其速度振幅，叫做不稳定，如振幅 逐渐衰弱，则叫做稳定，这称为渐近稳定。
线性跟驰模型的优点： 简便、稳 定分析的敏感性 线性跟驰模型的缺点： 跟随车的 反应强度(加速度)与车间距无关， 仅为两车相对速度的函数
p m / S 2 , k m2 /(S 2 m)(取整数)
(2)递推公式
P(0) p k x k 1 P( X x) (1 p) P( X x 1) x
(3)适用条件 当到达的车流波动性很大，特别是当计数过程包括高峰 期和非高峰期时，所得数据可能具有较大的方差。此时 S2/m 大于1.0 。