从合取范式到析取范式的转换研究_智慧来
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Γ ={{ p Øq r} {Øp q} {Øq}} 与之一一对应。
f DRDS 也不是经典粗糙集中的合取范式， 而是一种近似与合取
范式的 “伪合取范式” 。 实际上， 在实际应用中合取范式都是通过由复杂的前提 条件任意地通过交运算、 并运算和否定运算建立， 并可以通过 分配率和德 · 摩根率转化得来的。范式的转换是实际应用中， 特别是在知识的表示和处理中经常遇见的关键问题， 除了上 述在粗糙集分辨函数的计算中的应用， 范式的转换还可以应 用在概念格中内涵缩减的计算[5]、 逻辑程序设计的规则简化[6]、 程序结构的表示与重构[7]等诸多领域。 Skowron 等人已证明基于分辨矩阵计算一个决策表的所 有约简的时间复杂度是指数级 [1]。范式转换是实现属性约简 的关键环节， 尽管无法改变该类方法的时间复杂度， 但可以通
因为 f1 Î F3 ，F3 不更新保留在结果中，X31 = F3 - f1 = e ； 因为
f2 Î F2 ， F 2 不更新保留在结果中， X 22 = F 2 - f 2 = a ； F3 因为 f3 Î F3 ， X33 = F3 - f3 = a ； F1 f1 = ag ， F1 f 2 = bg ， 不更新保留在结果中， F1 f3 = eg ， 加入到结果中。 Mc( Γ1 Γ 2 Γ3) ={{a b}{a e}{a g}{b g}{e g}} 。
1 引言
在粗糙集合理论中属性约简居于核心地位， 一直是研究 的热点问题。 Skrowon 提出的分辨矩阵使得属性约简具有了 明确的数学模型， 并可以通过矩阵运算实现基于符号推理的 属性约简过程 [1-2]。根据分辨矩阵可以得到分辨函数， 型如分
m dsij 是区分两个 辨函数 f DRDS = Ù{ Ú m dsij|0 £ j < i £ n m dsij ¹ φ} ，
Γi Γ j = Γi ( Γi A) Û Γi（吸收率） 。根据族集的极小覆盖与
加入 Γ 2 ={b， e， g}： 令 F1=a， F2=g， f1=b， f2=e， f3=g。因为 f3Î F2， F2 不更新保留在结果中，X 23 = F 2 - f3 ={} ； 又因为 F1 É X 23 ， 所
[4]
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范式转换的理论与算法
定义 1 一个命题公式称为合取范式， 当且仅当它具有型
式：A1 Ù A 2 Ù Ù A n ，A1 A 2 A n 称为子式， 它们都是命题 变元或其否定组成的析取式[10]。 例如 ( p Ú Øq Ú r) Ù (Øp Ú q) Ù Øq 是一个合取范式。 命题 1 任何合取范式都存在唯一的一个族集与之一一 对应。 这个命题显然成立， 证明略。 例如对于合取范式 ( p Ú Øq Ú r) Ù (Øp Ú q) Ù Øq ， 存在族集
过设计合理的范式转换算法来减少算法的运行时间， 实现快 速的范式转换[8-9]。文献[8]提出了一种面向分辨函数的范式转 换算法， 主要是依据人工范式转换的运行机制， 充分利用合取运 算和析取运算的吸收率， 并借助队列结构来实现的。文献[9] 提出了合取范式化为析取范式的 DNA 表面计算方法， 这种方法 是一种并行计算方法， 降低了计算时间， 但并没有降低计算量。
对象 xi 和 x j 的所有条件属性的集合。这个分辨函数实际上是 一个合取范式， 将其转化为析取范式后， 式子中由 “Ú ” 连接每 一个合取式便是属性约简的结果。 Skrowon 提出的分辨矩阵和分辨函数， 在各种推广的粗糙 集模型中仍然适用， 只是 m dsij 的计算方法以及形式有所不 同。例如在基于覆盖的粗糙集模型属性约简 [3] 和基于广义粗 糙集模型的属性约简 中 m dsij 的计算更加复杂， 分辨函数
所以有： 原式 Û (a Ù b) Ú (a Ù e) Ú (a Ù g) Ú (b Ù g) Ú (e Ù g) 。 例 1 其实来源于文献 [5]， 其实质上是计算了一个概念的 内涵缩减。 下面是朴素的合取范式化为析取范式的过程：
(a Ú g) Ù (b Ú e Ú g) Ù (a Ú b Ú e) Û (a Ù b Ù a) Ú (a Ù b Ù b) Ú (a Ù b Ù e) Ú (a Ù e Ù a) Ú (a Ù e Ù b) Ú (a Ù e Ù e) Ú (a Ù g Ù a) Ú (a Ù g Ù b) Ú (a Ù g Ù e) Ú (g Ù b Ù a) Ú (g Ù b Ù b) Ú (g Ù b Ù e) Ú (g Ù e Ù a) Ú (g Ù e Ù b) Ú (g Ù e Ù e) Ú (g Ù g Ù a) Ú (g Ù g Ù b) Ú (g Ù g Ù e)（分配率） Û (a Ù b) Ú (a Ù e) Ú (a Ù g) Ú (b Ù g) Ú (e Ù g)（ 幂等率、 吸收率 ）
定义 2 一个命题公式称为析取范式， 当且仅当它具有型 式：A1 Ú A 2 Ú Ú A n ，A1 A 2 A n 称为子式， 它们都是命题 变元或其否定组成的合取式[10]。 例如 Øp Ú ( p Ù q) Ú ( p Ù Øq Ù r) 是一个析取范式。 任何一个合取范式都可以通过演算转化为一个析取范
(Øp Ú s Ú q) Ù (Øp Ú s Ú Ør) Û Øp Ú s Ú (q Ù Ør) 。 式。例如：
下面的极小覆盖的定义来源于文献[11]， 是用来计算一个 概念的内涵缩减的， 本文用极小覆盖来实现从合取范式到析
基金项目： 国家自然科学基金 （No.60975033） ； 河南理工大学博士基金 （No.B2011-102） 。 作者简介： 智慧来 （1981—） ， 男， 博士， 讲师， 主研领域： 信息处理、 概念格、 本体； 智东杰 （1952—） ， 男， 高级实验师； 刘宗田 （1946—） ， 教授， 博士生导师。 收稿日期： 2011-07-11； 修回日期： 2011-09-23
合取范式的意义以及两者对应关系， 可知命题成立。 合取范式化为析取范式的过程为： 首先使用分配率得到 一个析取式， 然后使用吸收率和幂等率进行化简。根据这一 思路， 可以得到一个朴素的合取范式化为析取范式的算法。 这个算法的复杂性高， 实现简单， 这里不再赘述。下面论述本 文的增量式算法， 这一算法在每一步都消去冗余项， 从而算法 在执行过程中没有冗余项生成。 算法 1 计算族集的极小覆盖
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2012， 48 （2）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
Γ ={ Γ1 Γ 2 Γ3} ={{a g}{b e g}{a b e}} Mc( Γ1) ={a} {g}
பைடு நூலகம்
取范式的转换。 定义 3 对于一个给定的族集 Γ ={F1 F 2 F n} ， 集合 H 如果满足： （1）"Fi Î Γ (H Ç Fi ¹ {}) （2）"S Ì H ($Fi Î Γ (S Ç Fi ={})) 则它被称为 Γ 的一个极小覆盖 （minimal cover） 。 Γ 的所有 极小覆盖的族集被称为 Γ 的极小覆盖族， 记为 Mc( Γ ) ={H|H 是 Γ 的一个极小覆盖}。 在不产生混淆的情况下， 极小覆盖族简称为极小覆盖。 命题 2 一个合取范式到析取范式的转换， 就是求合取范 式所对应族集的极小覆盖。 根据合取范式和析取范式的意义， 以及族集的极小覆盖 的定义， 易知此命题成立。 命题 3 合取范式对应的族集 Γ ={ Γ1 Γ 2 Γ n} ， 若 Γi Ì Γ j ， 则可以将 Γ j 从族集 Γ 中删除， 族集的极小覆盖不变。 证明 若 Γi Ì Γ j ， 则一定存在集合 A ， 使得 Γi A = Γ j ，
F1 f1 = ab ， F1 f 2 = ab 加入到结果中 以 F1 f3 删除； （为了叙
述方便省略了集合的大括号， 仅列出元素） 。 Mc( Γ1, Γ 2) = {{g}， {a， b}， {a， e}}。
F 2 = ab ， F3 = ae ， f1 = a ， f2 = b ， 加入 Γ3 ={a b e}： 令 F1 = g ， f3 = e 。因为 f1 Î F 2 ， F 2 不更新保留在结果中， X 21 = F 2 - f1 = b ；
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
2012， 48 （2）
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从合取范式到析取范式的转换研究
智慧来 1， 智东杰 1， 刘宗田 2 1 ZHI Huilai , ZHI Dongjie1, LIU Zongtian2
1.河南理工大学 计算机科学与技术学院， 河南 焦作 454000 2.上海大学 计算机工程与科学学院， 上海 200072 1.School of Computer Science and Technology, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, Henan 454000, China 2.School of Computer Engineering and Science, Shanghai University, Shanghai 200072, China ZHI Huilai, ZHI Dongjie, LIU Zongtian. Research on conversion from conjunctive normal form to disjunctive normal form. Computer Engineering and Applications, 2012, 48 （2） ： 15-17. Abstract：In order to calculate the discernable function of rough set, intent reduction of concept lattice of formal concept analysis and rule simplification in logic program design, that conversion from Conjunction Normal Form （CNF）to Disjunction Normal Form （DNF） is proposed as a critical problem. By using minimal cover, realize the conversion from CNF to DNF and give an incremental algorithm. In order to expand the use of normal form conversion, define a pseudo-CNF, and give the conversion method form pseudo-CNF to DNF. Key words： conjunctive normal form; disjunctive normal form; minimal cover; normal form conversion 摘 要： 为了解决粗糙集分辨函数的计算、 概念格中内涵缩减的计算、 逻辑程序设计的规则简化等问题， 抽象出了从合取范式到 析取范式转换这一核心问题。提出了利用极小覆盖来实现从合取范式到析取范式的转换， 给出了一个增量式的算法。为了扩大 范式转换的使用范围， 定义了伪合取范式， 并给出伪合取范式到析取范式的转换方法。 关键词： 合取范式； 析取范式； 极小覆盖； 范式转换 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2012.02.005 文章编号： 1002-8331 （2012） 02-0015-03 文献标识码： A 中图分类号： TP18
f DRDS 也不是经典粗糙集中的合取范式， 而是一种近似与合取
范式的 “伪合取范式” 。 实际上， 在实际应用中合取范式都是通过由复杂的前提 条件任意地通过交运算、 并运算和否定运算建立， 并可以通过 分配率和德 · 摩根率转化得来的。范式的转换是实际应用中， 特别是在知识的表示和处理中经常遇见的关键问题， 除了上 述在粗糙集分辨函数的计算中的应用， 范式的转换还可以应 用在概念格中内涵缩减的计算[5]、 逻辑程序设计的规则简化[6]、 程序结构的表示与重构[7]等诸多领域。 Skowron 等人已证明基于分辨矩阵计算一个决策表的所 有约简的时间复杂度是指数级 [1]。范式转换是实现属性约简 的关键环节， 尽管无法改变该类方法的时间复杂度， 但可以通
因为 f1 Î F3 ，F3 不更新保留在结果中，X31 = F3 - f1 = e ； 因为
f2 Î F2 ， F 2 不更新保留在结果中， X 22 = F 2 - f 2 = a ； F3 因为 f3 Î F3 ， X33 = F3 - f3 = a ； F1 f1 = ag ， F1 f 2 = bg ， 不更新保留在结果中， F1 f3 = eg ， 加入到结果中。 Mc( Γ1 Γ 2 Γ3) ={{a b}{a e}{a g}{b g}{e g}} 。
1 引言
在粗糙集合理论中属性约简居于核心地位， 一直是研究 的热点问题。 Skrowon 提出的分辨矩阵使得属性约简具有了 明确的数学模型， 并可以通过矩阵运算实现基于符号推理的 属性约简过程 [1-2]。根据分辨矩阵可以得到分辨函数， 型如分
m dsij 是区分两个 辨函数 f DRDS = Ù{ Ú m dsij|0 £ j < i £ n m dsij ¹ φ} ，
Γi Γ j = Γi ( Γi A) Û Γi（吸收率） 。根据族集的极小覆盖与
加入 Γ 2 ={b， e， g}： 令 F1=a， F2=g， f1=b， f2=e， f3=g。因为 f3Î F2， F2 不更新保留在结果中，X 23 = F 2 - f3 ={} ； 又因为 F1 É X 23 ， 所
[4]
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范式转换的理论与算法
定义 1 一个命题公式称为合取范式， 当且仅当它具有型
式：A1 Ù A 2 Ù Ù A n ，A1 A 2 A n 称为子式， 它们都是命题 变元或其否定组成的析取式[10]。 例如 ( p Ú Øq Ú r) Ù (Øp Ú q) Ù Øq 是一个合取范式。 命题 1 任何合取范式都存在唯一的一个族集与之一一 对应。 这个命题显然成立， 证明略。 例如对于合取范式 ( p Ú Øq Ú r) Ù (Øp Ú q) Ù Øq ， 存在族集
过设计合理的范式转换算法来减少算法的运行时间， 实现快 速的范式转换[8-9]。文献[8]提出了一种面向分辨函数的范式转 换算法， 主要是依据人工范式转换的运行机制， 充分利用合取运 算和析取运算的吸收率， 并借助队列结构来实现的。文献[9] 提出了合取范式化为析取范式的 DNA 表面计算方法， 这种方法 是一种并行计算方法， 降低了计算时间， 但并没有降低计算量。
对象 xi 和 x j 的所有条件属性的集合。这个分辨函数实际上是 一个合取范式， 将其转化为析取范式后， 式子中由 “Ú ” 连接每 一个合取式便是属性约简的结果。 Skrowon 提出的分辨矩阵和分辨函数， 在各种推广的粗糙 集模型中仍然适用， 只是 m dsij 的计算方法以及形式有所不 同。例如在基于覆盖的粗糙集模型属性约简 [3] 和基于广义粗 糙集模型的属性约简 中 m dsij 的计算更加复杂， 分辨函数
所以有： 原式 Û (a Ù b) Ú (a Ù e) Ú (a Ù g) Ú (b Ù g) Ú (e Ù g) 。 例 1 其实来源于文献 [5]， 其实质上是计算了一个概念的 内涵缩减。 下面是朴素的合取范式化为析取范式的过程：
(a Ú g) Ù (b Ú e Ú g) Ù (a Ú b Ú e) Û (a Ù b Ù a) Ú (a Ù b Ù b) Ú (a Ù b Ù e) Ú (a Ù e Ù a) Ú (a Ù e Ù b) Ú (a Ù e Ù e) Ú (a Ù g Ù a) Ú (a Ù g Ù b) Ú (a Ù g Ù e) Ú (g Ù b Ù a) Ú (g Ù b Ù b) Ú (g Ù b Ù e) Ú (g Ù e Ù a) Ú (g Ù e Ù b) Ú (g Ù e Ù e) Ú (g Ù g Ù a) Ú (g Ù g Ù b) Ú (g Ù g Ù e)（分配率） Û (a Ù b) Ú (a Ù e) Ú (a Ù g) Ú (b Ù g) Ú (e Ù g)（ 幂等率、 吸收率 ）
定义 2 一个命题公式称为析取范式， 当且仅当它具有型 式：A1 Ú A 2 Ú Ú A n ，A1 A 2 A n 称为子式， 它们都是命题 变元或其否定组成的合取式[10]。 例如 Øp Ú ( p Ù q) Ú ( p Ù Øq Ù r) 是一个析取范式。 任何一个合取范式都可以通过演算转化为一个析取范
(Øp Ú s Ú q) Ù (Øp Ú s Ú Ør) Û Øp Ú s Ú (q Ù Ør) 。 式。例如：
下面的极小覆盖的定义来源于文献[11]， 是用来计算一个 概念的内涵缩减的， 本文用极小覆盖来实现从合取范式到析
基金项目： 国家自然科学基金 （No.60975033） ； 河南理工大学博士基金 （No.B2011-102） 。 作者简介： 智慧来 （1981—） ， 男， 博士， 讲师， 主研领域： 信息处理、 概念格、 本体； 智东杰 （1952—） ， 男， 高级实验师； 刘宗田 （1946—） ， 教授， 博士生导师。 收稿日期： 2011-07-11； 修回日期： 2011-09-23
合取范式的意义以及两者对应关系， 可知命题成立。 合取范式化为析取范式的过程为： 首先使用分配率得到 一个析取式， 然后使用吸收率和幂等率进行化简。根据这一 思路， 可以得到一个朴素的合取范式化为析取范式的算法。 这个算法的复杂性高， 实现简单， 这里不再赘述。下面论述本 文的增量式算法， 这一算法在每一步都消去冗余项， 从而算法 在执行过程中没有冗余项生成。 算法 1 计算族集的极小覆盖
16
2012， 48 （2）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
Γ ={ Γ1 Γ 2 Γ3} ={{a g}{b e g}{a b e}} Mc( Γ1) ={a} {g}
பைடு நூலகம்
取范式的转换。 定义 3 对于一个给定的族集 Γ ={F1 F 2 F n} ， 集合 H 如果满足： （1）"Fi Î Γ (H Ç Fi ¹ {}) （2）"S Ì H ($Fi Î Γ (S Ç Fi ={})) 则它被称为 Γ 的一个极小覆盖 （minimal cover） 。 Γ 的所有 极小覆盖的族集被称为 Γ 的极小覆盖族， 记为 Mc( Γ ) ={H|H 是 Γ 的一个极小覆盖}。 在不产生混淆的情况下， 极小覆盖族简称为极小覆盖。 命题 2 一个合取范式到析取范式的转换， 就是求合取范 式所对应族集的极小覆盖。 根据合取范式和析取范式的意义， 以及族集的极小覆盖 的定义， 易知此命题成立。 命题 3 合取范式对应的族集 Γ ={ Γ1 Γ 2 Γ n} ， 若 Γi Ì Γ j ， 则可以将 Γ j 从族集 Γ 中删除， 族集的极小覆盖不变。 证明 若 Γi Ì Γ j ， 则一定存在集合 A ， 使得 Γi A = Γ j ，
F1 f1 = ab ， F1 f 2 = ab 加入到结果中 以 F1 f3 删除； （为了叙
述方便省略了集合的大括号， 仅列出元素） 。 Mc( Γ1, Γ 2) = {{g}， {a， b}， {a， e}}。
F 2 = ab ， F3 = ae ， f1 = a ， f2 = b ， 加入 Γ3 ={a b e}： 令 F1 = g ， f3 = e 。因为 f1 Î F 2 ， F 2 不更新保留在结果中， X 21 = F 2 - f1 = b ；
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
2012， 48 （2）
15
从合取范式到析取范式的转换研究
智慧来 1， 智东杰 1， 刘宗田 2 1 ZHI Huilai , ZHI Dongjie1, LIU Zongtian2
1.河南理工大学 计算机科学与技术学院， 河南 焦作 454000 2.上海大学 计算机工程与科学学院， 上海 200072 1.School of Computer Science and Technology, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, Henan 454000, China 2.School of Computer Engineering and Science, Shanghai University, Shanghai 200072, China ZHI Huilai, ZHI Dongjie, LIU Zongtian. Research on conversion from conjunctive normal form to disjunctive normal form. Computer Engineering and Applications, 2012, 48 （2） ： 15-17. Abstract：In order to calculate the discernable function of rough set, intent reduction of concept lattice of formal concept analysis and rule simplification in logic program design, that conversion from Conjunction Normal Form （CNF）to Disjunction Normal Form （DNF） is proposed as a critical problem. By using minimal cover, realize the conversion from CNF to DNF and give an incremental algorithm. In order to expand the use of normal form conversion, define a pseudo-CNF, and give the conversion method form pseudo-CNF to DNF. Key words： conjunctive normal form; disjunctive normal form; minimal cover; normal form conversion 摘 要： 为了解决粗糙集分辨函数的计算、 概念格中内涵缩减的计算、 逻辑程序设计的规则简化等问题， 抽象出了从合取范式到 析取范式转换这一核心问题。提出了利用极小覆盖来实现从合取范式到析取范式的转换， 给出了一个增量式的算法。为了扩大 范式转换的使用范围， 定义了伪合取范式， 并给出伪合取范式到析取范式的转换方法。 关键词： 合取范式； 析取范式； 极小覆盖； 范式转换 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2012.02.005 文章编号： 1002-8331 （2012） 02-0015-03 文献标识码： A 中图分类号： TP18