数学建模：第五章 运筹与优化模型

i 1,2 m j 1,2 n
决策变量是连续变量，最优解可能是小数或分数。
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但是在许多实际问题中，往往要求所得的解为 整数，例如投资项目的选择、机器的台数、完成工 作的人数、装货的车数等，分数和小数的答案就没 有现实意义了。 在现性规划中，若限制 x j (j=1,2,…,n)是非负整 数，则这种线性规划问题称为整数规划问题。
x 模型建立 设该容器底边长和高分别为 x1米、 2米， 则问题的数学模型为
min f ( X ) 40 x1 x2 20 x1 （容器的费用）
2
x12 x 2 12, （容器体积） 2 s.t . 12 x1 x 2 2 x1 68, （容器重量） x 0, x 0. 2 1
x ij 必须是非负整数，
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本问题的数学模型为：
min cij x ij
i 1 j 1
m
n
s.t
t
j 1
m i 1
n
ij
x ij a i
bj
i 1,2 m
x
ij
j 1,2 n
xij 为非负整数
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三、非线性规划模型
非线性规划模型的一般形式为：
min f ( X )
x32 4, x23 3
xij 0
21
求解得
x11 3.8268 , x14 6.1732 , x21 3.5436 , x23 3.000 , x24 0, x31 0.4008
x32 4.0000 , x34 0, x41 4.0752 , x44 0, x54 0.4609
4 x 21 8 x 22 12 x 23
x12 x22 70
x13 x23 40 xij 0, i 1,2, j 1,2,3,
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一般线性规划问题的数学表达式：
max(min) f c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
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解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费 此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
a21 x1 a22 x2 a2 n xn (, )b2
am1 x1 am 2 x2 amn xn (, )bm

x1 , x2 ,, xn 0
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例3：生产组织与计划问题 设有m种资源，第i(i=1,2…,m)种资源的现存量 为 bi ，现要生产n种产品，已知生产j(j=1,2…,n)种 产品时，每单位产品需要第i种资源量为 a ij ，而每 单位j种产品可得利润 c j ，问如何组织生产才能使 利润最大？ 解：用 x j 表示生产第j(j=1,2,…,n)种产品 的计划数， 上述问题可归结为如下的数学问题：
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5.2 实际问题中的优化模型
一、投资策略 某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目 供选择： 项目A,从第一年到第四年每年初投资，次年末收 回本金且获利15%； 项目B，第三年初投资，第五年末收回本金且获利 25%，最大投资额为4万元； 项目C，第二年初投资，第五年末收回本金且获利 40%，最大投资额为3万元； 项目D，每年初投资，年末收回本金且获利6%。 问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大。
z 1.15 x41 1.40 x23 1.25 x32 1.06 x54
将上条件等价变形
如
x21 x23 x24 1.06 x14
1.06 x14 x21 x23 x24 0
20
由此得投资问题的线性规划模型如下：
max z 1.15 x41 1.40 x23 1.25 x32 1.06 x54
第五章 运筹与优化模型
5.1 简Baidu Nhomakorabea的运筹与优化模型
一、 线性规划模型 线性规划是运筹学的一个重要分支，它起源于工 业生产组织管理的决策问题。在数学上它用来确定 多变量线性函数在变量满足线性约束条件下的最优 值；随着计算机的发展，出现了如单纯形法等有效 算法，它在工农业、军事、交通运输、决策管理与 规划等领域中有广泛的应用。
s.t.
x11 x14 10
1.06 x14 x21 x23 x24 0
1.15 x11 1.06 x24 x31 x32 x34 0
1,15 x21 1.06 x34 x41 x44 0 1.15 x31 1.06 x44 x54 0
max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
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二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
2
目标函数 max f 7 x1 12 x2 约束条件 9 x 5 x 360
4 x1 5 x2 200 3 x1 10 x2 300 x1 0, x2 0.
1
2
其中( x1, x 2 )为决策向量， 满足约束条件的(x1, x 2)称为可行决策。
线性规划问题就是指目标函数为诸决策变量的线性 函数，给定的条件可用诸决策变量的线性等式或不等 式表示的决策问题。线性规划求解的有效方法是单纯 形法（进一步了解可参考有关书籍），当然简单的问 3 题也可用图解法。
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束； 若只有(1)称为无约束问题。
项目 年份
A
B
C
D
1 2 3 4 5
x11
x 21
x 23
x 41
x31
x32
x 24 x34
x 44
x14
x54
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项目A,从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%； 项目B，第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元； 项目C，第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元； 项目D，每年初投资，年末收回本金且获利6%。
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问题的目标函数是第五年末的本息总额， 决策变量是每年初各个项目的投资额， 约束条件是每年初拥有的资金。 用 xij 表示第 i 年初（ i 1,2, ,,5 ）项目 j ( j 1,2,3,4 分别代表A,B,C,D)的投资额， 根据所给条件只有下表1列出的 x ij 才是需要求解的。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数
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例4：分配问题 假设某工厂用m台机床加工n种零件。在一个生产 周期内，第i(i=1,2,…,m)台机床只能工作 a i 个机时， 而第j(j=1,2,…,n)种零件必须完成 b j 个，又第i台机床 加工第j种零件所需机时和成本分别为 t ij （机时／个） c ij 和 （元／个）。问在这个生产周期内怎样安排各机 床的生产任务，才能使得既完成加工任务，又使总的 加工成本最少？ 解：在一个生产周期内，假设第i台机床加工第j 种零件的个数为 x ij 。 由于x ij 是零件个数，因此
现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息 如表4，最后一列指装运后所获得的利润。
23
重量 （吨）
货物1 货物2 货物3 18 15 23
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一般来说，非线性规划模型的求解要比线性规划模 型求解困难得多，虽然现在已经发展了许多非线性 规划的算法，但到目前为止，还不象线性规划那样 有通用的单纯形算法，而是各种算法都有自己特定 的适用范围，如求解法有：最速下降法、牛顿法、 可行方向法、惩罚函数法等。尽管如此，非线性规 划的实际应用还是相当广泛的。
13
如 min f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x1 x2 5 x3 x3
2 2
16 x1 x2 5 x1 x3 x2 0 2 2 x1 x2 x1 x3 10 0
2
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例5：容器的设计问题 某公司专门生产储藏用容器，定货合同要求该公 司制造一种敞口的长方体容器，容积恰好为12立方 米，该容器的底必须为正方形，容器总重量不超过 68公斤。已知用作容器四壁的材料为每平方米10 元， 重3公斤；用作容器底的材料每平方米20元，重2公 斤。试问制造该容器所需的最小费用是多少？
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x11 x14 10
项目A,从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%； 项目B，第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元； 项目C，第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元； 项目D，每年初投资，年末收回本金且获利6%。
每项投资应为非负的： xij 0 第五年末本息总额为
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二、货机装运
问题 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个 货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际 装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制 （吨）
前仓 中仓 后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制 （米3）
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例1、某工厂制造A.B两种产品，制造A每吨 需用煤9t，电力4kw，3个工作日；制造B每吨需 用煤5t，电力5kw，10个工作日。已知制造产品A 和B每吨分别获利7000元和12000元，现工厂只有 煤360t，电力200kw，工作日300个可以利用，问 A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大？ 解：设 x1 x 2 ,（单位为吨）分别表示A、B产 品的计划生产数； f表示利润（单位千元） 则问题归结为如下线性规划问题：
如用图解法求解例1：
由约束条件决定的可行域如图阴影所示，
目标函数的等值线向右上方移动时其值增 大，在到达点 Q2 时f取得最大值；
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当 x1 =20, x 2 =24时，即产品A生产20t，产品B生 产24t时，生产方案最优。 其最大利润为： 7×20＋12×24＝428千元
例2：某两个煤厂 A1 . A2 ，每月进煤数量分别为 60t和100t联合供应3个居民区 B1 , B2 , B3 。3个居民 区每月对煤的需求量依次分别为50t,70t,40t，煤 厂 A1 离3个居民区 B1 , B2 , B3 的距离依次为 10km,5km,6km，煤厂 A2 离3个居民区B1 , B2 , B3 的 距离依次分别为4km,8km,12km，问如何分配供 煤量使得运输费（即t· km）达到最小？
z 14.3750
即 第1年项目A,D分别投资3.8268和6.1732(万元)；
第2年项目A,C分别投资3.5436和3(万元)；
第3年项目A,B分别投资0.4008和4(万元)； 第4年项目A投资4.0752(万元)； 第5年项目D投资0.4609(万元)； 5年后总资金 14。375万元，即盈利43.75%.
因为项目D 每年初可以投资，且年末能收回本 息，所以每年初都应把资金全部投出去， 由此可得如下的约束条件：
第一年初：
项目B,C对投资额的限制：x32 4, x 23 3
第二年初： x21 x23 x24 1.06 x14 第三年初 x31 x32 x34 1.15 x11 1.06 x24 第四年初： x41 x44 1.15 x21 1.06 x34 第五年初： x54 1.15 x31 1.06 x44