高等数学同济大学课件上第76空间直线

则直线与平面夹角 满足
s in co s︿,s n )(
sn
AmBnCp
sn
m 2n2p2 A2B2C2
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特别有: (1)L
(2)L//
s//n sn
ABC mn p A m B n C p 0
例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 2 x 3 y z 4 0 垂
直线 L : xxyyzz, s(m ,n,p) mn p
L⊥
sn0
m n p ABC
L //
sn0
m A n B p C 0
夹角公式： sin s n
sn
L
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思考与练习
P335 来自百度文库2, 10
作业 P335 3，4，5，7，9
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讲述人：皮皮虾
时间：someday
A
i jk
ns2OA 2 1 1 3i3j3kO 121
L2 s2
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待求直线的方向向量
i jk
ss1n 3 2 1 3 (3 i 2 j 5 k ) 3 3 3
故所求直线方程为 x1y2z1 3 2 5
方法2 利用所求直线与L2 的交点 .
设所求直线与L 2 的交点为 B(x0,y0,z0), A(1,2,1)
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 pt
(m 2n2p20)
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2. 线与线的关系
直线 L1： xm 1x1y n1y1z p1z1, s1 (m 1 ,n 1 ,p 1 ) 直线 L2： xm 2 x2y n2y2z p2 z2,s2 (m 2 ,n 2 ,p 2 )
从而
4
(参考P332 例2 )
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2. 直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时,规定其夹角 2 .
设直线 L 的方向向量为 s(m ,n,p)
ns L
平面 的法向量为 n(A,B,C)
2020
高等数学同济大学课件上
i jk
sn1n2 1 1 1 (4,1,3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y z 2 t 4 1 3
参数式方程为
x y
1 t
4
t
z 2 3 t
解题思路: 先找直线上一点;
再找直线的方向向量.
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二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
L1
s 1 ( m 1 , n 1 , p 1 ) ,s 2 ( m 2 , n 2 , p 2 ) s1
则两直线夹角 满足
s2
L2
cos s1s2
s1 s2
m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2
直的直线方程.
解: 取已知平面的法向量 n(2,3,1)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
x1 y2 z 4 2 3 1
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内容小结
1. 空间直线方程
一般式 A A 21xx B B2 1y y C C1 2zz D D 1200
对称式 xx0yy0zz0 mn p
L1 L2
s1s20
L1 //L2
s1s20
夹角公式: cos s1s2
s1 s2
m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 m1 n1 p1 m2 n2 p2
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3. 面与线间的关系
平面 : A x B y C z D 0 ,n(A,B,C)
L1:
x1yz3 1 4 1
L2:xxy2z200
解: 直线 L 1的方向向量为 s1(1,4,1)
i jk
直线 L 2 的方向向量为 s 2 1 1 0 (2,2,1)
二直线夹角 的余弦为
10 2
cos 1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 2
12(4)212 22(2)2(1)2 2
m12n12p12 m 22n22p22
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特别有: (1) L1L2
(2) L1//L2
s1s2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0
s1 //s2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
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例2. 求以下两直线的夹角
则有 即
x0 2
y0
z0 1
x 0 2 y 0 ,z 0 y 0
L2 B(x0,y0,z0)
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备用题
一直线过点A(1,2,1)且垂直于直线L1:x3 12 yz1 1,
又和直线
L2
:
xy z 相交,求此直线方程 2 1
.
解： 方法1 利用叉积.
设直线Li的方向向量为 si(i1,2),过 A 点及 L2的平
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 ss1n, n
因原 O 在 L 点 2上 ,所以