第1章 有限元基本理论

q qa 2 2 EA
1.9 有限单元法解题的一般步骤
结构的离散化 选择位移模式
建立平衡方程
求解节点位移 计算单元中的应力和应变
1.9.1 结构的离散化

将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻的 单元体仅在节点处相连接，而以如此单元的结合 体去代替原来的结构。
1.9.2 选择位移模式(形函数)
1.6 节点和单元
载荷
节点:空间中的坐标位置，具有一定 自由度和存在相互物理作用。 单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数 矩阵 ) 。单元有线、面或实体以及二 维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
1.6 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
2 nodes
. .
A
. .
. .
B
. .
. .
A
1 node
. .
.
B
.
分离但节点重叠的 单元 A 和 B 之间没有 信息传递（需进行 节点合并处理）
具有公共节点 的单元之间存 在信息传递
1.6 节点和单元 (续)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J
1.3.2 几何方程
u x x v y y w z z
xy yz zx
v u x y w v y z u w z x
1.3.3 物理方程(本构方程)
x e 2G x y e 2G y z e 2G z
u [ N ]{ } [N ] [
e
xi 1 x xi 1 xi
]
{ } [ui u i 1 ]
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)

有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应 变和应力用节点位移表示的公式：

i x i x
du dx

i x
ui 1 ui li E ( ui 1 ui ) li
入位移函数可求出6个待定系数。即可用节 点的位移表示内部任意一点的位移：
ui v i 0 u j e B Nm v j um vm
u N i u v 0

假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3， 则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
EA a ( 2u2 u3 ) qa EA a ( u2 2u3 u4 ) qa EA ( u u ) qa 3 4 a 2 [k ][ ] [ p ] { } [u2 u3 u4 ]
K J
P
O N K J
三维实体结构单元 UX, UY, UZ
M L I
1.7 单元形函数
• FEA仅仅求解节点处的DOF值。 • 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值 到单元内所有点处DOF值的计算方法。 • 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的 “形状”。 • 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 • 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响 求解精度。
E
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)

外载荷与结点的平衡方程
EA( u i ui 1 ) li 1

EA( u i 1 ui ) li

q ( li 1 li ) 2
q (li1 li ) 2
为第i个结点上承受的外载荷
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)

nodal solution UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
element solution σ、ε、
1.7 单元形函数(续)
如果单元形函数不能精确描述单元内部的 DOFs ， 就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是 通过单元形函数推导出来的。 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并 接受该种单元类型所假定的单元形函数。 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必 须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述 所要求解的问题。
T
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
{ p} [ qa qa qa / 2]
T
2 1 0 EA [k ] a 1 2 1 0 1 1
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)

联立求解线性代数方程组得：
u2 u3 u4
2 qa 5 2 EA 2 qa 8 2 EA
应力边界条件
uu vv
ww
位移边界条件
1.4 有限元模型
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
真实系统
有限元模型
1.5 自由度(DOFs)
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。 问题
UY ROTY
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ
UZ
ROTX UX
结构 DOFs
结构 热 电 流体 磁

依据求得的结点位移，由
{ } [ B ]{ }e { } [ D ][ B ]{ }e
可求得单元中任一点的应变和应力。
e
1.9.3 三角形单元的形函数

基本假定：假定单元内 的位移可以用一个比较 简单的函数来表示，如 线性插值函数。这在单 元划分比较密的情况下 是合理可行的。
u a1 a2 x a3 y
v a4 a5 x a6 y
1.9.3 三角形单元的形函数(续)
将三角形单元的 3 个顶点的 2 个方向位移代
1.7 单元形函数(续)
二次曲线的线性近似 (不理想结果) DOF值二次分布
.
1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果)
.
2
真实的二次曲线
.
节点 单元
真实的二次曲线
.
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.. . . .
3
节点 单元
.
4
节点 单元
.
1.7 单元形函数(续)
DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实 解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来 的（如：结构应力、热梯度）。

xy G xy yz G yz zx G zx
拉梅系数 体积应变 剪切模量
1 1 2
E
e x y z
E G 21
1.3.4 边界条件
l x m yx n zx X l xy m y n zy Y l xz m yz n z Z
三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
I L
J
I L
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ 三维实体热单元 TEMP
K
二维或轴对称实体单元 UX, UY I
I P
M L I N K J J O

1.3 物理系统举例
几何体 载荷 物理系统
结构
热
电磁
1.3.1 平衡方程
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
1.2 有限单元法的基本思想
将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中 设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接 的一组单元的集合体。 选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单 元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的 分布规律。 利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知 量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度 问题化为离散域中有限自由度问题。
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
1.9.4 建立平衡方程

可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位 移之间的关系式，即结构的平衡方程
[k ][ ] [ p]
1.9.5 求解结点位移

将边界条件代入线性代数方程组 [k ][ ] [ p] 后， 经解算可求得所有未知的结点位移。
1.9.6 计算单元中的应变和应力
第一章 有限元基本理论
物理系统 平衡方程 简 单 化 几何方程 物理方程 边界条件
有限元离散
(假定单元内位移函数) 单元节点关系
单元的位移场
求解区域的位移场、应力场
1.1 有限元分析 (FEA)
有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简 单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移 模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一 的关系式 e
{u} [ N ]{ }

有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系 表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达 式 e
{ } [ B ]{ }
{ } [ D ][ B ]{ }

1.8 直杆受自重作用的拉伸问题
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)

就整个直杆来说，位移函数 U(x) 是未知的，但对每 一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等 于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布 ， 即： u u
u ui
i 1
i
li e
( x xi )
x xi xi 1 xi