九年级数学：二次函数的应用练习题(含解析)

九年级数学：二次函数的应用练习题（含解析）
一、精心选一选
1﹒某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x＝3时，y＝8，那么当成本为72元时，边长为（）
A.6cm
B.12cm
C.24cm
D.36cm
2﹒将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）
A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
3﹒某烟花厂设计一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式
是h＝－5
2
t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时
间为（）
A.3s
B.4s
C.5s
D.6s
4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的
平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－1
25
x2，当水面离桥拱的高度
DO是4m时，这时水面宽度AB为（）
A.－20m
B.10m
C.20m
D.－10m
5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）
A.30万元
B.40万元
C.45万元
D.46万元
6﹒如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m，则所围成
矩形ABCD的最大面积是（）
A.60m2
B.63m2
C.64m2
D.66m2
7﹒某民俗旅游村为接待游客住宿需求，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收
费10元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出；如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）
A.14元
B.15元
C.16元
D.18元
8﹒某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛
物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线
的最高点M离墙1m，离地面40
3
m，则水流落地点B离墙的距离
OB是（）
A.2m
B.3m
C.4m
D.5m 9﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－
1 4x2+
3
4
x+1的一部分，如图所示（单位：m），则下列说法不正确
的是（）
A.出球点A离地面点O的距离是1m
B.该羽毛球横向飞出的最远距离是3m
C.此次羽毛球最高可达到25 16
m
D.当羽毛球横向飞出3
2
m时，可达到最高点
10.图2是图1拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线
OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝
1
400
(x－80)2+16，桥拱与
桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）
A.169
40
米 B.
17
4
米 C.16
7
4
米 D.
15
4
米
图1 图2
二、细心填一填
11.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平
均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为______元时，该服装店平均每天的销售利润最大.
12.一个足球被从地面上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是_____________m.
13.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每件的售价应为________元.
14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t －5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来.
15.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间有一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为________m2.
16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽为4
米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，
水面宽度为________米.
三、解答题
17.九年级数学兴趣小组经市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价
100 110 120 130 …
（元/件）
200 180 160 140 …
月销量
（件）
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_______________元；②月销量是________________件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
18.某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A 商品和2件B商品，共需135元.
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件.
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
19.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
20.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系
x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
21.如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B，E，C，G在一条直线上.
（1）若BE＝a，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.
21.4 二次函数的应用课时练习题参考答案
一、精心选一选
题号1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
答
案
A A
B
C
D C C B B B
1﹒某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x＝3时，y＝8，那么当成本为72元时，边长为（）
A.6cm
B.12cm
C.24cm
D.36cm
解答：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得
18＝9k，
解得：k＝2，
∴y＝2x2，
当y＝72时，72＝2x2，
∴x＝6．
故选：A．
2﹒将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）
A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
解答：设应降价x元，
则(20+x)(100﹣x﹣70)＝﹣x2+10x+600＝﹣(x﹣5)2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值．
∴为了获得最大利润，则应降价5元．
故选：A．
3﹒某烟花厂设计一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式
是h＝－5
2
t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时
间为（）
A.3s
B.4s
C.5s
D.6s
解答：∵h＝﹣5
2
t2+20t+1，
∴h＝﹣5
2
(t﹣4)2+41，
∴当t＝4秒时，礼炮达到最高点爆炸．
故选：B．
4﹒河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的
平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－1
25
x2，当水面离桥拱的高度
DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A.－20m B.10m
C.20m
D.－10m
解答：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣1
25
x2，
得x＝±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB＝20m．
即水面宽度AB为20m．
故选：C．
5﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）
A.30万元
B.40万元
C.45万元
D.46万元
解答：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，根据题意得出：
W＝y
1
+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30，
∴最大利润为：
2
4
4
ac b
a
-
＝
2
4(1)308
4(1)
⨯-⨯-
⨯-
＝46（万元），
故选：D．
6﹒如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m，则所围成
矩形ABCD 的最大面积是（ ）
A.60m 2
B.63m 2
C.64m 2
D.66m 2
解答：设BC ＝x m ，则AB ＝(16﹣x )m ，矩形ABCD 面积为y m 2， 根据题意得：y ＝(16﹣x )x ＝﹣x 2+16x ＝﹣(x ﹣8)2+64， 当x ＝8m 时，y 最大值＝64m 2， 则所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2． 故选：C ．
7﹒某民俗旅游村为接待游客住宿需求，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出；如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A.14元
B.15元
C.16元
D.18元 解答：设每张床位提高x 个2元，每天收入为y 元． 则有y ＝(10+2x )(100﹣10x ) ＝﹣20x 2+100x +1000． 当x ＝﹣
2b
a
＝2.5时，可使y 有最大值． 又x 为整数，则x ＝2时，y ＝1120；
x ＝3时，y ＝1120；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费＝10+3×2＝16（元）． 故选：C ．
8﹒某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛
物线 的最高点M 离墙1m ，离地面
40
3
m ，则水流落地点B 离墙的距离
OB 是（ ）
A.2m
B.3m
C.4m
D.5m 解答：设抛物线的解析式为y ＝a (x ﹣1)2+
403
， 把点A （0，10）代入a (x ﹣1)2+
40
3
，得a (0﹣1)2+ ＝10，
解得a＝﹣10
3
，
因此抛物线解析式为y＝﹣10
3
(x﹣1)2+
40
3
，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．
故选：B．
9﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－1
4
x2+
3
4
x+1的一部分，如图所示（单位：m），
则下列说法不正确的是（）
A.出球点A离地面点O的距离是1m
B.该羽毛球横向飞出的最远距离是3m
C.此次羽毛球最高可达到25 16
m
D.当羽毛球横向飞出3
2
m时，可达到最高点
解答：A.当x＝0时，y＝1，
则出球点A离地面点O的距离是1m，故A正确；
B.当y＝0时，﹣1
4
x2+
3
4
x+1＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝4≠3．故B错误；
C.∵y＝﹣1
4
x2+ x+1，∴y＝﹣
1
4
(x﹣
3
2
)2+
25
16
，
∴此次羽毛球最高可达到25
16
m，故C正确；
D.∵y＝﹣1
4
(x﹣
3
2
)2+
25
16
，∴当羽毛球横向飞出
3
2
m时，可达到最高点．故D正确．
∴只有B是错误的．
故选：B．
10.图2是图中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线
OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝
1
400
(x－80)2+16，桥拱与
桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）
A.169
40
米 B.
17
4
米 C.16
7
4
米 D.
15
4
米
图1 图2 解答：∵AC⊥x轴，OA＝10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x＝﹣10时，y＝
1
400
(x－80)2+16＝
1
400
(－10－80)2+16＝﹣
17
4
，
∴C（﹣10，﹣17
4
），
∴桥面离水面的高度AC为17
4
m．
故选：B．
二、细心填一填
11. 22； 12. 19.6； 13. 25；
14. 20； 15. 75；6．
11.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为______元时，该服装店平均每天的销售利润最大.
解答：设定价为x元，
根据题意得：y＝(x﹣15)[8+2(25﹣x)]
＝﹣2x2+88x﹣870
∴y＝﹣2x2+88x﹣870，
＝﹣2(x﹣22)2+98
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝22时，y最大值＝98．故答案为：22．
12.一个足球被从地面上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是_____________m.
解答：由题意得：t＝4时，h＝0，因此16a+19.6×4＝0，
解得：a＝﹣4.9，
∴函数关系为h＝﹣4.9t2+19.6t，
足球距地面的最大高度是：
2
4( 4.9)019.6
4( 4.9)
⨯-⨯-
⨯-
＝19.6（m），
故答案为：19.6．
13.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每件的售价应为________元.解答：设最大利润为w元，
则w＝(x﹣20)(30﹣x)＝﹣(x﹣25)2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x＝25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t －5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来.
解答：依题意：该函数关系式化简为S＝﹣5(t﹣2)2+20，
当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m．
故惯性汽车要滑行20米．故答案为：20.15.某农场拟建两间矩
形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间有一道墙隔开，并在如
图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括
门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为________m2.
解答：设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x(30﹣3x)＝﹣3x2+30x＝﹣3(x﹣5)2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故答案为：75．
16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽为4米时，
拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面宽度为
________米.
解答：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x6，
所以水面宽度增加到6米，
故答案为：6．
三、解答题
17.九年级数学兴趣小组经市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
100 110 120 130 …
售价
（元/件）
月销量
200 180 160 140 …
（件）
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_______________元；②月销量是________________件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
解答：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；
②设月销量W与x的关系式为w＝kx+b，
由题意得，
100200
110180
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
2
400
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴W＝﹣2x+400；
（2）由题意得，y＝(x﹣60)(﹣2x+400)
＝﹣2x2+520x﹣24000
＝﹣2(x﹣130)2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
18.某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A 商品和2件B商品，共需135元.
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件.
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
解答：（1）根据题意得：
280 32135
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
25
30
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（2）①由题意得：y＝(x﹣20)[100﹣5(x﹣30)]
∴y＝﹣5x2+350x﹣5000，
②∵y＝﹣5x2+350x﹣5000＝﹣5(x﹣35)2+1125，
∴当x＝35时，y最大＝1125，
∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．
19.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块
矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解答：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BE＝a，则AE＝2a，
∴8a+2x＝80，
∴a＝﹣1
4
x+10，2a＝﹣
1
2
x+20，
∴y＝(﹣1
2
x+20)x+(﹣
1
4
x+10)x＝﹣
3
4
x2+30x，
∵a＝﹣1
4
x+10＞0，
∴x＜40，
则y＝﹣3
4
x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y＝﹣3
4
x2+30x＝﹣
3
4
(x﹣20)2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣
3
4
＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
20.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
解答：（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴20.50.850.8 3.5
c a c =⎧⎨+⨯+=⎩， 解得：251612a c
⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣2516t 2+5t +12
， ∴当t ＝85
时，y 最大＝4.5； （2）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，
∴当t ＝2.8时，y ＝－2516×2.82+5×2.8+12
＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门．
21.如图，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E ，F 分别从顶点B ，C 同时开始以相同速度沿边BC ，CD 运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ，对应边EG ＝BC ，B ，E ，C ，G 在一条直线上.
（1）若BE ＝a ，求DH 的长；
（2）当E 点在BC 边上的什么位置时，△DHE 的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.
解答：（1）连接FH ，
∵△EGH ≌△BCF ，
∴HG ＝FC ，∠G ＝∠BCF ，
∴HG ∥FC ，
∴四边开FCGH 是平行四边形，
∴FH ∥CG ，且FH ＝CG ，
又∵EG ＝BC ，
∴EG －EC ＝BC －EC ，即CG ＝BE ，
∴FH＝BE，
∵FH∥CG，
∴∠DFH＝∠DCG＝90°，
由题意可知：CF＝BE＝a，
在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，
∴DH；
（2）设BE＝x，△DHE的面积为y，根据题意得：
y＝S
△CDE +S
梯形CDHG
－S
△EGH
＝
1
2
×3a(3a－x)+
1
2
(3a+x)x－
1
2
×3a×x，
∴y＝1
2
x2－
3
2
ax+
9
2
a2＝
1
2
(x－
3
2
a)2+
27
8
a2，
∴当x＝3
2
a，即E为BC的中点时，y取得最小值，即△DHE的面积取得最小值，最小值
是27
8
a2.。