运筹学模型与数学建模竞赛

运筹学模型与数学建模竞赛

一、引言

一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型包括数学规划（线性规划和非线性规划），网络优化（含网络计划技术），排队模型，动态规划等，请看下表

下面重点介绍运筹学模型的数学规划。 二、数学规划的一般形式

))(m ax ()(m in x f or x f

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤=≤==ub x lb m j x g l i x h t s j i ,,2,1,

0)(,,2,1,0)(.

. 线性规划： 整数规划： 非线性规划：

三、数学规划问题举例

1 下料问题

现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？

解：先设计几个裁剪方案

记 A---------40×40；

注：还有别的方案吗？

显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。最佳方法应是三个方案的优化组合。设方案i 使用原材料x i 件(i =1,2,3)。共用原材料f 件。则根据题意，可用如下数学式子表示：

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥≥++≥+++=)3,2,1(0305325

2.

.min 321213

21j x x x x x x t s x x x f j

，整数 这是一个整数线性规划模型。

2 运输问题

现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）

方案1 方案2

方案3

解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。故设ij x 表示从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表示总运费.则运输模型为：

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎧==≥⎪

⎭⎪

⎬⎫=+=+=+⎭⎬⎫

≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f min ij 32121025154030504223223

1322122111232221131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运输模型为

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1

1

11

n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij m

i j ij n

j i ij m i n

j ij

ij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位运价。 特别当

∑∑===m

i n

j j

i b

a 1

1

时，存货必须全部运走，故上述约束条件中的

∑=≤n

j i ij

a x

1

可改为等式：

),...2,1(1

m i a x

i n

j ij

==∑=

3 选址问题

某地区有m 座煤矿，i # 矿每年产量为a i 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 0吨，每年运行的固定费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为h 0元。现规划新建一个发电厂，

m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有n 个备选的厂址。若在j #备选

厂址建电厂，每年运行的固定费用为h j 元，每吨原煤从i # 矿运送到j #备选厂址的运费为c ij 元(i =1,2,…m , j =1,2…n )。每吨原煤从i # 矿运送到原有电厂的运费为c i0 (i =1,2,…m )。试问：

[1] 应把新电厂厂址选在何处？

[2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂？

才能使每年的总费用（电厂运行的固定费用与原煤运费之和）为最小？

模型的建立

(1) 变量的设置为了解决问题[1]，我们使用0-1变量

n j j y j ,2,10

#1=⎩⎨

⎧=否则

备选厂址选中

为了解决问题[2]，设从i #煤矿运到j #备选的厂址的运量为x ij 吨（i=1,2,…m，j=0,1,2,…,n）

总运费：

ij m i n

o

j ij

x c

∑∑==1（对不被选中的备选厂址运费x ij,将由约束条件限制为0）.

固定费用 h 0+

∑=n

j j j

y h

1

每年总费用 z =

01

1

h y h x c

n

j j j m

i n

j ij ij

++∑∑∑===

(3)约束条件的表达 （i ）煤矿产量约束

m ,,i a x

i

n

j ij

210

==∑=

（ii ）旧电厂用煤量约束

01

b x

m

i i =∑=

（iii ）新电厂用煤量约束 记 01

b a

b m

i i

-=

∑=，当j #

备选厂址被选中时∑==m

i ij b x 1

，当